【題目】如圖,圓C過原點并與坐標軸分別交于A、D兩點,已知點B為圓C圓周上一動點,且∠ABO=30°,點D的坐標為(0,2).
(1)直接寫出圓心 C 的坐標;
(2)當△BOD為等邊三角形時,求點B的坐標;
(3)若以點B為圓心、r為半徑作圓B,當圓B與兩個坐標軸同時相切時,求點B的坐標.
【答案】(1)(﹣1, );(2)B(﹣3, );(3)B(﹣﹣1, +1)或B(﹣1, ﹣1).
【解析】試題分析:(1)連接OC并延長,交⊙C于點E,連接EA、ED,在直角三角形中,由30°角的性質(zhì)和直角三角形的正切值可求出ED的長;再過點C作CF⊥OD,垂足為F,則CF是△DEO的中位線,根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)可求C點的坐標;
(2)作BH⊥x軸交x軸于點H,根據(jù)勾股定理可求B點的坐標;
(3)分為B點在第一象限或第二象限,設(shè)出B的坐標,利用勾股定理可求解.
試題解析:(1)如圖1,連接OC并延長,交⊙C于點E,連接EA、ED.
因為∠ABO=30°,
∴∠AEO=30°,又因為OE是直徑,
∠AOE=60°,∠EOD=30°,∠EDO=90°
∵OD=2,
∴ED=DOtan30°=2.
過點C作CF⊥OD,垂足為F,則CF是△DEO的中位線,
所以OF=,CF=1.
∴點C的坐標為(﹣1,)
故圓心C的坐標為(﹣1,);
(2)如圖2,作BH⊥x軸交x軸于點H,
當△BOD是等邊三角形,
則OB=OD=2,∠BOD=60°,
故∠BOA=30°,
則BH=OB=×2=,
OH===3,
∴B(﹣3,);
(3
則BC=,
∴AD===4,
∴AC=2,
∵BC=AC,
∴=2,
∴(﹣a+1)2+(a﹣)2=4,
解得:a1=0(舍去),a2=1+,
故B(﹣﹣1, +1),
若B在第一象限,設(shè)B(a,a),(a>0),
∴BC=,
同理: =2,
解得:a3=0(舍去),a4=﹣1,
∴B(﹣1,﹣1),
綜上所述:B(﹣﹣1, +1)或B(﹣1,﹣1).
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【題目】為了解某品牌轎車的熬油情況,將油箱加滿后進行了耗油實驗,得到如下數(shù)據(jù):
轎車行駛的路程 | ··· | |||||
油箱剩余油量 | ··· |
(1)該轎車油箱的容量為 ,行駛時,油箱剩余油量為
(2)根據(jù)上表的數(shù)據(jù),寫出油箱剩余油量與轎車行駛的路程之間的表達式 .
(3)某人將油箱加滿后,駕駛該轎車從地前往地,到達地時油箱剩余油量為,求兩地之間的距離?
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【題目】如圖,《九章算術(shù)》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)重要的著作,奠定了中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的基本框架.《九章算術(shù)》中記載:“今有共買雞,人出八,盈三;人出七,不足四.問人數(shù)、雞價各幾何?”譯文:“今天有幾個人共同買雞,每人出8錢,則多了3錢,每人出7錢,則少4錢.問人數(shù)和雞的價錢各是多少?”設(shè)人數(shù)有x人,雞的價錢是y錢,可列方程組為________________.
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【題目】已知A,B,C,D是⊙O上的四個點.
(1)如圖①,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求證:AC⊥BD;
(2)如圖②,若AC⊥BD,垂足為F,AB=2,DC=4,求⊙O的半徑.
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【題目】在如圖所示的方格圖中,我們稱每個小正方形的頂點為“格點”,以格點為頂點的三角形叫做“格點三角形”,根據(jù)圖形,回答下列問題.
(1)圖中格點三角形A′B′C′是由格點三角形ABC通過怎樣的平移得到的?
(2)如果以直線a,b為坐標軸建立平面直角坐標系后,點A的坐標為(-3,4),請寫出格點三角形DEF各頂點的坐標,并求出三角形DEF的面積.
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【題目】如圖在下面平面直角坐標系中,已知A ,B ,C 三點.其中滿足.
(1)求的值;
(2)如果在第二象限內(nèi)有一點 ,請用含的式子表示四邊形的面積;
(3)在(2)的條件下,是否存在點,使四邊形的面積為△的面積的兩倍?若存在,求出點的坐標,若不存在,請說明理由.
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【題目】如圖,在矩形ABCD中有對角線AC與BD相等,已知AB=4,BC=3,則有AB2+BC2=AC2,矩形在直線MN上繞其右下角的頂點B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置,再繞右下角的頂點繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)至圖②位置……依次類推,則:
(1)AC=__________.
(2)這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次后,頂點B在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是________.
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【題目】已知△ABC中,點O是邊AC上的一個動點,過O作直線MN∥BC,設(shè)MN交∠BCA的平分線于點E,交∠BCA的外角平分線于點F.
(1)求證:OE=OF.
(2)試確定點O在邊AC上的位置,使四邊形AECF是矩形,并加以證明.
(3)在(2)的條件下,且△ABC滿足 ____________時,矩形AECF是正方形.
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