Question

（2013•臨沂）如圖，拋物線經(jīng)過A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三點(diǎn)．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在拋物線的對稱軸上有一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）點(diǎn)M為x軸上一動點(diǎn)，在拋物線上是否存在一點(diǎn)N，使以A，C，M，N四點(diǎn)構(gòu)成的四邊形為平行四邊形？若存在，求點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），再把A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三點(diǎn)代入求出a、b、c的值即可；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)B的坐標(biāo)為（5，0），連接BC交對稱軸直線于點(diǎn)P，求出P點(diǎn)坐標(biāo)即可；
（3）分點(diǎn)N在x軸下方或上方兩種情況進(jìn)行討論．

解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為y=ax²+bx+c（a≠0），
∵A（-1，0），B（5，0），C（0，-

5

2

）三點(diǎn)在拋物線上，
∴

a-b+c=0 25a+5b+c=0 c=- 5 2

，
解得

a= 1 2 b=-2 c=- 5 2

．
∴拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-2x-

5

2

；

（2）∵拋物線的解析式為：y=

1

2

x²-2x-

5

2

，
∴其對稱軸為直線x=-

b

2a

=-

-2

2× 1 2

=2，
連接BC，如圖1所示，
∵B（5，0），C（0，-

5

2

），
∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b（k≠0），
∴

5k+b=0 b=- 5 2

，
解得

k= 1 2 b=- 5 2

，
∴直線BC的解析式為y=

1

2

x-

5

2

，
當(dāng)x=2時(shí)，y=1-

5

2

=-

3

2

，
∴P（2，-

3

2

）；

（3）存在．
如圖2所示，

①當(dāng)點(diǎn)N在x軸下方時(shí)，
∵拋物線的對稱軸為直線x=2，C（0，-

5

2

），
∴N₁（4，-

5

2

）；
②當(dāng)點(diǎn)N在x軸上方時(shí)，
如圖，過點(diǎn)N₂作ND⊥x軸于點(diǎn)D，
在△AN₂D與△M₂CO中，

∠N2AD=∠CM2O AN2=CM2 ∠AN2D=∠M2CO

∴△AN₂D≌△M₂CO（ASA），
∴N₂D=OC=

5

2

，即N₂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為

5

2

．
∴

1

2

x²-2x-

5

2

=

5

2

，
解得x=2+

14

或x=2-

14

，
∴N₂（2+

14

，

5

2

），N₃（2-

14

，

5

2

）．
綜上所述，符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)為（4，-

5

2

），（2+

14

，

5

2

）或（2-

14

，

5

2

）．

點(diǎn)評：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，涉及到用待定系數(shù)法求一次函數(shù)與二次函數(shù)的解析式、平行四邊的判定與性質(zhì)、全等三角形等知識，在解答（3）時(shí)要注意進(jìn)行分類討論．