【題目】如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的邊AB在x軸上,∠ABC=90°,AB=BC,OA=1,OB=4,拋物線經過A、C兩點.
(1)求拋物線的解析式及其頂點坐標;
(2)如圖①,點P是拋物線上位于x軸下方的一點,點Q與點P關于拋物線的對稱軸對稱,過點P、Q分別向x軸作垂線,垂足為點D、E,記矩形DPQE的周長為d,求d的最大值,并求出使d最大值時點P的坐標;
(3)如圖②,點M是拋物線上位于直線AC下方的一點,過點M作MF⊥AC于點F,連接MC,作MN∥BC交直線AC于點N,若MN將△MFC的面積分成2:3兩部分,請確定M點的坐標.
【答案】(1),(1,-4)
【解析】
試題分析:
(1)考查求解拋物線的能力,利用點在拋物線上代入即可得解,再求出頂點坐標.
(2)考查數(shù)形結合的能力,利用點在拋物線上,設出P點,寫出Q點,得出矩形DPQE的周長為d關于所設變量的函數(shù),再利用二次函數(shù)的性質即可得解.
(3)進一步考查數(shù)形結合的能力,過點F作FH⊥MN于H,過C作CG⊥MN于G,利用面積比的關系即可得解,注意解值的有意義.
試題解析:
(1)由已知得:A(-1,0)、C(4,5)
∵二次函數(shù)的圖像經過點A(-1,0)C(4,5)
∴ 解得
∴拋物線解析式為
∵
∴頂點坐標為(1,-4)
(2)由(1)知拋物線的對稱軸為直線x=1
設點P為((t,),
∵P、Q為拋物線上的對稱點
∴
當時,
∵
∴當t=2使,d有最大值為10,即點P為(2,-3)
當時,由拋物線的軸對稱性得,點P為(0,-3)時,d有最大值10
綜上,當P為(0,-3)或(2,-3)時,d有最大值10
(3)過點F作FH⊥MN于H,過C作CG⊥MN于G,則∠ANM=∠ACB=45°
∵MF⊥AC
∴ ∴
∵A(-1,0),C(4,5)
∴直線AC解析式為y=x+1
設點M為(m,),其中,則CG=4-m
由MN∥BC得點N為(m,m+1)
∴
當時,有3MN=4CG 即
解得: (舍去)
∴點M為
當時,有2MN=6CG 即
解得: (舍去)
∴點M為(2,-3)
∴ 綜上,當M為、(2,-3)
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【題目】如圖,直角坐標系中,三角形ABC的頂點都在網(wǎng)格點上,其中A(2,), B(4,3), C(1,2).
(1)將三角形ABC先向左平移2個單位長度,再向上平移1個單位長度,得到三角形,則三角形的三個頂點坐標。( ),( ),( ).
(2)求三角形ABC的面積.
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【題目】如圖,在□ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,且OA=OB.
(1)求證:四邊形ABCD是矩形;
(2)若AB=6,∠AOB=120°,求BC的長.
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【題目】隨著人們生活質量的提高,凈水器已經慢慢走入了普通百姓家庭,某電器公司銷售每臺進價分別為2000元、1700元的A、B兩種型號的凈水器,下表是近兩周的銷售情況:
(1)求A,B兩種型號的凈水器的銷售單價;
(2)若電器公司準備用不多于54000元的金額在采購這兩種型號的凈水器共30臺,求A種型號的凈水器最多能采購多少臺?
(3)在(2)的條件下,公司銷售完這30臺凈水器能否實現(xiàn)利潤為12800元的目標?若能,請給出相應的采購方案;若不能,請說明理由.
銷售時段 | 銷售數(shù)量 | 銷售收入 | |
A種型號 | B種型號 | ||
第一周 | 3臺 | 5臺 | 18000元 |
第二周 | 4臺 | 10臺 | 31000元 |
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【題目】如圖,直線∥,直線和,分別交于點.A為上一點,B為上一點,P為上一動點。
(1)如果P在C、D之間運動,如圖①(點P與點C、D不重合),請說明:
(2)如果P在CD兩點的外側運動,如圖②、圖③(點P與點C、D不重合),問∠APB,,有何關系,請直接寫出結論。
圖① 圖② 圖③
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【題目】如圖:(1)寫出△ABC中點A、點C坐標;(2)畫出△ABC繞點A管好逆時針旋轉90°后的△AB'C';(3)在(2)的條件下,求點C旋轉到C'所經過的路線長。(結果保留)
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【題目】某校利用暑假進行田徑場的改造維修,項目承包單位派遣一號施工隊進場施工,計劃用50天時間完成整個工程:當一號施工隊工作5天后,承包單位接到通知,有一大型活動要在該田徑場舉行,要求比原計劃提前18天完成整個工程,于是承包單位派遣二號與一號施工隊共同完成剩余工程,結果按通知要求如期完成整個工程.
(1)若二號施工隊單獨施工,完成整個工程需要多少天?
(2)若此項工程一號、二號施工隊同時進場施工,完成整個工程需要多少天?
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【題目】如圖,點E是正方形ABCD的邊BC延長線上一點,連接DE,過頂點B作BF⊥DE,垂足為F,BF分別交AC于H,交CD于G.
(1)求證:BG=DE;
(2)若點G為CD的中點,求的值;
(3)在(2)的條件下,求的值.
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【題目】如圖,已知A(-4,)、B(2,-4)是一次函數(shù)的圖象和反比例函數(shù)的圖象的兩個交點.
(1)求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)求直線AB和軸的交點C的坐標;
(3)求方程的解(請直接寫出答案);
(4)求不等式的解集(請直接寫出答案).
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