Question

【題目】在Rt△ACB中，C為直角頂點(diǎn)，∠ABC＝25°，O為斜邊AB的中點(diǎn)，將OA繞著點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)α(0°＜α＜180°)到OP．當(dāng)△BCP為等腰三角形時(shí)，α的度數(shù)為________．

Answer 1

【答案】50°或80°或65°

【解析】

如圖1，連接AP，根據(jù)直角三角形的判定和性質(zhì)得到∠APB=90°，當(dāng)BC=BP時(shí)，得到∠BCP=∠BPC，推出AB垂直平分PC，求得∠ABP=∠ABC=25°，于是得到θ=2×25°=50°，當(dāng)BC=PC時(shí)，如圖2，連接CO并延長(zhǎng)交PB于H，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到CH垂直平分PB，求得∠CHB=90°，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到θ=2×40°=80°，當(dāng)PB=PC時(shí)，如圖3，連接PO并延長(zhǎng)交BC于G，連接OC，推出PG垂直平分BC，得到∠BGO=90°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到θ=∠BOG=65°．

∵△BCP恰為軸對(duì)稱(chēng)圖形，

∴△BCP是等腰三角形，

如圖1，連接AP，

∵O為斜邊中點(diǎn)，OP=OA，

∴BO=OP=OA，

∴∠APB=90°，

當(dāng)BC=BP時(shí)，

∴∠BCP=∠BPC，

∴∠BCP+∠ACP=∠BPC+∠APC=90°，

∴∠ACP=∠APC，

∴AC=AP，

∴AB垂直平分PC，

∴∠ABP=∠ABC=25°，

∴θ=2×25°=50°，

當(dāng)BC=PC時(shí)，如圖2，連接CO并延長(zhǎng)交PB于H，

∵BC=CP，BO=PO，

∴CH垂直平分PB，

∴∠CHB=90°，

∵OB=OC，

∴∠BCH=∠ABC=25°，

∴∠CBH=65°，

∴∠OBH=40°，

∴θ=2×40°=80°，

當(dāng)PB=PC時(shí)，如圖3，連接PO并延長(zhǎng)交BC于G，連接OC，

∵∠ACB=90°，O為斜邊中點(diǎn)，

∴OB=OC，

∴PG垂直平分BC，

∴∠BGO=90°，

∵∠ABC=25°，

∴θ=∠BOG=65°，

綜上所述：當(dāng)△BCP恰為軸對(duì)稱(chēng)圖形時(shí)，θ的值為50°或65°或80°，

故答案為：50°或65°或80°．