【題目】請閱讀下列材料:

問題:如圖(1),一圓柱的高為5dm,底面半徑為5dm,BC是底面直徑,求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到點C的最短路線.小明設(shè)計了兩條路線:

路線1:側(cè)面展開圖中的AC.如下圖(2)所示:

設(shè)路線1的長度為,則,

路線2:高線AB + 底面直徑BC.如上圖(1)所示:

設(shè)路線2的長度為,則

,

,

所以要選擇路線2較短.

1)小明對上述結(jié)論有些疑惑,于是他把條件改成:圓柱的底面半徑為1dm,高AB5dm”繼續(xù)按前面的路線進(jìn)行計算.請你幫小明完成下面的計算:

路線1___________________;

路線2__________

(><) 所以應(yīng)選擇路線_________(12)較短.

(2)請你幫小明繼續(xù)研究:在一般情況下,當(dāng)圓柱的底面半徑為r,高為h時,應(yīng)如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的路線最短.

【答案】125+π2;49;<;<;1;(2)(2)當(dāng)rl1l2;當(dāng)r=,l1=l2;當(dāng)rl1l2

【解析】

1)根據(jù)勾股定理易得路線1l12=AC2=2+底面周長一半2;路線2l22=(+底面直徑)2,然后比較即可;

2)先分別求出l12l22的值,進(jìn)而得出l12-l22的值,然后分三種情況計算即可.

解:(1)路線1l12=AC2=25+π2;

路線2l22=(AB+BC)2=49

l12l22

l1l2,

選擇路線1較短.

故答案為:25+π2;49;<;<;1

2l12=AC2=AB2+BC2=h2+(πr)2,

l22=(AB+BC)2=(h+2r)2,

l12-l22=h2+(πr)2-(h+2r)2=r(π2r-4r-4h)=r[(π2-4)r-4h]

當(dāng)r[(π2-4)r-4h]0時,r,此時l12l22,即l1l2

當(dāng)r[(π2-4)r-4h]=0時,r=,此時l12=l22,即l1=l2;

當(dāng)r[(π2-4)r-4h]0時,r,此時l12l22,即l1l2;

綜上可知:當(dāng)r,l1l2;當(dāng)r=,l1=l2;當(dāng)r,l1l2

練習(xí)冊系列答案
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