Question

【題目】如圖，在△ACE中，CA＝CE，∠CAE＝30°，⊙O經(jīng)過點(diǎn)C，且圓的直徑AB在線段AE上．點(diǎn)D是線段AC上任意一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），連接OD，當(dāng)AB＝4時(shí)，則CD+OD的最小值是______．

Answer 1

【答案】

【解析】

作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，易證四邊形AOCF是菱形，根據(jù)對稱性可得DF=DO．過點(diǎn)D作DH⊥OC于H，易得DH=DC，從而有CD+OD=DH+FD．根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得：當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即CD+OD）最小，然后在Rt△OHF中運(yùn)用三角函數(shù)即可解決問題．

解：作OF平分∠AOC，交⊙O于F，連接AF、CF、DF，如圖所示，

∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC=30°，∴∠COB=60°，

則∠AOF=∠COF=∠AOC=（180°-60°）=60°．
∵OA=OF=OC，
∴△AOF、△COF是等邊三角形，
∴AF=AO=OC=FC，
∴四邊形AOCF是菱形，
∴根據(jù)對稱性可得DF=DO．
過點(diǎn)D作DH⊥OC于H，

則DH=DCsin∠DCH=DCsin30°=DC，
∴CD+OD=DH+FD．
根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短可得，
當(dāng)F、D、H三點(diǎn)共線時(shí)，DH+FD（即CD+OD）最小，
∵OF=OA=AB=2，
∴此時(shí)FH=DH+FD=OFsin∠FOH=×2=，
即CD+OD的最小值為．

故答案為：．