【題目】如圖1,已知O是坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)A的坐標(biāo)是(5,0),點(diǎn)B是y軸正半軸上一動點(diǎn),以OB,OA為邊作矩形OBCA,點(diǎn)E,H分別在邊BC和邊OA上,將△BOE沿著OE對折,使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處,將△ACH沿著CH對折,是點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處。
(1)求證:四邊形OECH是平行四邊形;
(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到使得點(diǎn)F,G重合時(shí),判斷四邊形OECH的形狀并說明理由;
(3)當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動到使得點(diǎn)F,G將對角線OC三等分時(shí),求點(diǎn)B的坐標(biāo)。
【答案】(1)證明見解析;(2)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0, );四邊形OECH是菱形.理由見解析;(3)(0, )或(0,2).
【解析】試題分析:(1)如圖1,根據(jù)矩形的性質(zhì)得OB∥CA,BC∥OA,再利用平行線的性質(zhì)得∠BOC=∠OCA,然后根據(jù)折疊的性質(zhì)得到∠BOC=2∠EOC,∠OCA=2∠OCH,所以∠EOC=∠OCH,根據(jù)平行線的判定定理得OE∥CH,加上BC∥OA,于是可根據(jù)平行四邊形的判定方法得四邊形OECH是平行四邊形;
(2)如圖2,先根據(jù)折疊的性質(zhì)得∠EFO=∠EBO=90°,∠CFH=∠CAF=90°,由點(diǎn)F,G重合得到EH⊥OC,根據(jù)菱形的判定方法得到平行四邊形OECH是菱形,則EO=EC,所以∠EOC=∠ECO,而∠EOC=∠BOE,根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可計(jì)算出∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°,在Rt△OBC中,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得OB=BC=,于是得到點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0, );
(3)分類討論:當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)O,G之間時(shí),如圖3,根據(jù)折疊的性質(zhì)得OF=OB,CG=CA,則OF=CG,所以AC=OF=FG=GC,設(shè)AC=m,則OC=3m,在Rt△OAC中,根據(jù)勾股定理得m2+52=(3m)2,解得m=,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0, );當(dāng)點(diǎn)G在O,F之間時(shí),如圖4,同理可得OF=CG=AC,設(shè)OG=n,則AC=GC=2n,在Rt△OAC中,根據(jù)勾股定理得(2n)2+52=(3n)2,解得n=,則AC=OB=2,所以點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,2).
試題解析:(1)證明:如圖1,
∵四邊形OBCA為矩形,
∴OB∥CA,BC∥OA,
∴∠BOC=∠OCA,
又∵△BOE沿著OE對折,使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處;△ACH沿著CH對折,使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處,
∴∠BOC=2∠EOC,∠OCA=2∠OCH,
∴∠EOC=∠OCH,
∴OE∥CH,
又∵BC∥OA,
∴四邊形OECH是平行四邊形;
(2)解:點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0, );四邊形OECH是菱形.理由如下:如圖2,
∵△BOE沿著OE對折,使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處;△ACH沿著CH對折,使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處,
∴∠EFO=∠EBO=90°,∠CFH=∠CAF=90°,
∵點(diǎn)F,G重合,
∴EH⊥OC,
又∵四邊形OECH是平行四邊形,
∴平行四邊形OECH是菱形,
∴EO=EC,
∴∠EOC=∠ECO,
又∵∠EOC=∠BOE,
∴∠EOB=∠EOC=∠ECO=30°,
又∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是(5,0),
∴OA=5,
∴BC=5,
在Rt△OBC中,OB=BC=,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0, );
(3)解:當(dāng)點(diǎn)F在點(diǎn)O,G之間時(shí),如圖3,
∵△BOE沿著OE對折,使點(diǎn)B落在OC上的F點(diǎn)處;△ACH沿著CH對折,使點(diǎn)A落在OC上的G點(diǎn)處,
∴OF=OB,CG=CA,
而OB=CA,
∴OF=CG,
∵點(diǎn)F,G將對角線OC三等分,
∴AC=OF=FG=GC,
設(shè)AC=m,則OC=3m,
在Rt△OAC中,OA=5,
∵AC2+OA2=OC2,
∴m2+52=(3m)2,解得m=,
∴OB=AC=,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0, );
當(dāng)點(diǎn)G在O,F之間時(shí),如圖4,
同理可得OF=CG=AC,
設(shè)OG=n,則AC=GC=2n,
在Rt△OAC中,OA=5,
∵AC2+OA2=OC2,
∴(2n)2+52=(3n)2,解得n=,
∴AC=OB=2,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(0,2).
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【題目】如圖,為了測量某建筑物CD的高度,先在地面上用測角儀自A處測得建筑物頂部的仰角是30°,然后在水平地面上向建筑物前進(jìn)了100 m,此時(shí)自B處測得建筑物頂部的仰部角是45°.已知測角儀的高度是1.5 m,請你計(jì)算出該建筑物的高度.(取≈1.732,結(jié)果精確到1 m)
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(1)求出y與x的函數(shù)關(guān)系式;
(2)當(dāng)文具店每周銷售這種紀(jì)念冊獲得150元的利潤時(shí),每本紀(jì)念冊的銷售單價(jià)是多少元?
(3)設(shè)該文具店每周銷售這種紀(jì)念冊所獲得的利潤為w元,將該紀(jì)念冊銷售單價(jià)定為多少元時(shí),才能使文具店銷售該紀(jì)念冊所獲利潤最大?最大利潤是多少?
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【題目】某人到瓷磚商店去買一種多邊形形狀的瓷磚用來鋪設(shè)無縫地板,他購買的瓷磚形狀不可以是( )
A.正三角形
B.長方形
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【題目】閱讀材料:
我們經(jīng)常通過認(rèn)識一個(gè)事物的局部或其特殊類型,來逐步認(rèn)識這個(gè)事物;比如我們通過學(xué)習(xí)特殊的四邊形,即平行四邊形(繼續(xù)學(xué)習(xí)它們的特殊類型如矩形、菱形等)來逐步認(rèn)識四邊形;
我們對課本里特殊四邊形的學(xué)習(xí),一般先學(xué)習(xí)圖形的定義,再探索發(fā)現(xiàn)其性質(zhì)和判定方法,然后通過解決簡單的問題鞏固所學(xué)知識;
請解決以下問題:
如圖,我們把滿足AB=AD、CB=CD且AB≠BC的四邊形ABCD叫做“箏形”;
⑴寫出箏形的兩個(gè)性質(zhì)(定義除外);
⑵寫出箏形的兩個(gè)判定方法(定義除外),并選出一個(gè)進(jìn)行證明.
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