【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),且OA=3,OB=1,與y軸交于C(0,3),拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為D(﹣1,4).
(1)求A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo);
(2)求拋物線的解析式;
(3)過點(diǎn)D作直線DE∥y軸,交x軸于點(diǎn)E,點(diǎn)P是拋物線上B、D兩點(diǎn)間的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)P不與B、D兩點(diǎn)重合),PA、PB與直線DE分別交于點(diǎn)F、G,當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí),EF+EG是否為定值?若是,試求出該定值;若不是,請說明理由.
【答案】(1)A點(diǎn)坐標(biāo)(﹣3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)(1,0);(2)拋物線的解析式為y=﹣x2﹣2x+3;(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值),理由見解析.
【解析】(1)根據(jù)OA,OB的長,可得答案;
(2)根據(jù)待定系數(shù)法,可得函數(shù)解析式;
(3)根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì),可得EG,EF的長,根據(jù)整式的加減,可得答案.
(1)由拋物線y=ax2+bx+c交x軸于A、B兩點(diǎn)(A在B的左側(cè)),且OA=3,OB=1,得
A點(diǎn)坐標(biāo)(﹣3,0),B點(diǎn)坐標(biāo)(1,0);
(2)設(shè)拋物線的解析式為y=a(x+3)(x﹣1),
把C點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式,得
a(0+3)(0﹣1)=3,
解得a=﹣1,
拋物線的解析式為y=﹣(x+3)(x﹣1)=﹣x2﹣2x+3;
(3)EF+EG=8(或EF+EG是定值),理由如下:
過點(diǎn)P作PQ∥y軸交x軸于Q,如圖,
設(shè)P(t,﹣t2﹣2t+3),
則PQ=﹣t2﹣2t+3,AQ=3+t,QB=1﹣t,
∵PQ∥EF,
∴△AEF∽△AQP,
∴,
∴EF==;
又∵PQ∥EG,
∴△BEG∽△BQP,
∴,
∴EG===2(t+3),
∴EF+EG=2(1﹣t)+2(t+3)=8.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,矩形ABCD的頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為(-4,0)和(2,0),BC=.設(shè)直線AC與直線x=4交于點(diǎn)E.
(1)求以直線x=4為對稱軸,且過C與原點(diǎn)O的拋物線的函數(shù)關(guān)系式,并說明此拋物線一定過點(diǎn)E;
(2)設(shè)(1)中的拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為N,M是該拋物線上位于C、N之間的一動(dòng)點(diǎn),求△CMN面積的最大值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知平面直角坐標(biāo)系中兩定點(diǎn)、,拋物線過點(diǎn)A,B,與y交于C點(diǎn),點(diǎn)P(m,n)為拋物線上一點(diǎn).
(1)求拋物線的解析式和點(diǎn)C的坐標(biāo);
(2)當(dāng)∠APB為鈍角時(shí),求m的取值范圍;
(3)當(dāng)∠PAB=∠ABC時(shí),求點(diǎn)P的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】二次函數(shù)y=ax2+bx+c (a≠0)的圖象如圖所示,對稱軸是x=-1.下列結(jié)論:①ab>0;②b2>4ac;③a-b+2c<0;④8a+c<0.其中正確的是( )
A. ③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某風(fēng)景區(qū)集體門票的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是:20人以內(nèi)(含20人),每人25元;超過20人,超過的部分,每人10元.
(1)寫出應(yīng)收門票費(fèi)y(元)與游覽人數(shù)x(人)之間的函數(shù)解析式;
(2)利用(1)中的函數(shù)解析式計(jì)算,某班54名學(xué)生要去該風(fēng)景區(qū)游覽,購買門票一共需要花多少錢?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AB⊥BC,DC⊥BC,E是BC上一點(diǎn),使得AE⊥DE;
(1)求證:△ABE∽△ECD;
(2)若AB=4,AE=BC=5,求CD的長;
(3)當(dāng)△AED∽△ECD時(shí),請寫出線段AD、AB、CD之間數(shù)量關(guān)系,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,△ABC是等腰三角形,AB=AC,∠A=36°.
(1)用尺規(guī)作∠ABC的角平分線BD,交AC于點(diǎn)D;(保留作圖痕跡,不寫作法);
(2)過點(diǎn)C作CE//BD,且CE=BD,求證:四邊形BCED是菱形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在正方形網(wǎng)格圖中建立一直角坐標(biāo)系,一條圓弧經(jīng)過網(wǎng)格點(diǎn)
A(0,2),B(4,2)C(6,0),解答下列問題:
(1)請?jiān)趫D中確定該圓弧所在圓心D點(diǎn)的位置,則D點(diǎn)坐標(biāo)為___ ___;
(2)連結(jié)AD,CD,求⊙D的半徑(結(jié)果保留根號);
(3)若把扇形DAC圍成一個(gè)圓錐,求圍成圓錐的底面半徑(結(jié)果保留根號).
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