Question

【題目】如圖1，在△ABC中，∠A=36°，AB=AC，∠ABC的平分線BE交AC于E．

（1）求證：AE=BC；

（2）如圖（2），過點E作EF∥BC交AB于F，將△AEF繞點A逆時針旋轉角α（0°＜α＜144°）得到△AE′F′，連結CE′，BF′，求證：CE′=BF′；

（3）在（2）的旋轉過程中是否存在CE′∥AB？若存在，求出相應的旋轉角α；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】解：（1）證明：∵AB=BC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°。

又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE=36°。

∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°。∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C。

∴AE=BE，BE=BC。∴AE=BC。

（2）證明：∵AC=AB且EF∥BC，∴AE=AF；

由旋轉的性質可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，

∵在△CAE′和△BAF′中， ，

∴△CAE′≌△BAF′。∴CE′=BF′。

（3）存在CE′∥AB。

由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，E點經(jīng)過的路徑（圓�。┡c過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點，

如圖：①當點E的像E′與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，

∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°。

∴α=∠CAM=36°。

②當點E的像E′與點N重合時，

由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，∴∠ANM=∠AMN=72°。

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°。

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°。

∴當旋轉角為36°或72°時，CE′∥AB。

【解析】試題分析：（1）根據(jù)等腰三角形的性質以及角平分線的性質得出對應角之間的關系進而得出答案；（2）由旋轉的性質可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，根據(jù)全等三角形證明方法得出即可；（3）分別根據(jù)①當點E的像E′與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，②當點E的像E′與點N重合時，求出α即可．

試題解析：（1）證明：∵AB=BC，∠A=36°，

∴∠ABC=∠C=72°，

又∵BE平分∠ABC，

∴∠ABE=∠CBE=36°，

∴∠BEC=180°﹣∠C﹣∠CBE=72°，

∴∠ABE=∠A，∠BEC=∠C，

∴AE=BE，BE=BC，

∴AE=BC．

（2）證明：∵AC=AB且EF∥BC，

∴AE=AF；

由旋轉的性質可知：∠E′AC=∠F′AB，AE′=AF′，

∵在△CAE′和△BAF′中

，

∴△CAE′≌△BAF′，

∴CE′=BF′．

（3）存在CE′∥AB，

理由：由（1）可知AE=BC，所以，在△AEF繞點A逆時針旋轉過程中，E點經(jīng)過的路徑（圓弧）與過點C且與AB平行的直線l交于M、N兩點，

如圖：①當點E的像E′與點M重合時，則四邊形ABCM為等腰梯形，

∴∠BAM=∠ABC=72°，又∠BAC=36°，

∴α=∠CAM=36°．

②當點E的像E′與點N重合時，

由AB∥l得，∠AMN=∠BAM=72°，

∵AM=AN，

∴∠ANM=∠AMN=72°，

∴∠MAN=180°﹣2×72°=36°，

∴α=∠CAN=∠CAM+∠MAN=72°．

所以，當旋轉角為36°或72°時，CE′∥AB．