Question

【題目】聰明好學(xué)的亮亮看到一課外書上有個(gè)重要補(bǔ)充：

（角平分線定理）三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線分對(duì)邊所成的兩條線段與這個(gè)角的兩鄰邊對(duì)應(yīng)成比例．于是他就和其他同學(xué)研究一番，寫出了已知、求證如下：

“已知：如圖1，△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，求證：”

可是他們依然找不到證明的方法，于是，老師提示：過點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長線于點(diǎn)E，于是得到△BDE∽△CDA，從而打開思路．

（Ⅰ）請(qǐng)你按老師的提示或你認(rèn)為其他可行的方法幫亮亮完成證明．

（Ⅱ）利用角平分線定理解決如下問題：

如圖2，△ABC中，E是BC中點(diǎn)，AD是∠BAC的平分線，EF∥AD交AC于F，AB＝7，AC＝15，求AF的長．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）AF＝4

【解析】

（Ⅰ）構(gòu)造平行線，利用相似三角形的性質(zhì)解決問題即可．

（Ⅱ）根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得出，結(jié)合E是BC中點(diǎn)，即可得出，由EF∥AD，得出，進(jìn)而得出，此題得解．

（Ⅰ）證明：如圖1中，過點(diǎn)B作BE∥AC交AD延長線于點(diǎn)E．

∵BE∥AC，

∴∠E＝∠CAE，

∵∠BAE＝∠CAE，

∴∠BAE＝∠E，

∴BA＝BE，

∵BE∥AC，

∴△BDE∽△CDA，

∴，

∴.

（Ⅱ）解：如圖2中，

∵AD是∠BAC的平分線，AB＝7，AC＝15，

∴，

∵E是BC中點(diǎn)，

∴，

∵EF∥AD，

∴，

∴，

∵AC＝15，

∴AF＝4．