Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)A作AG⊥ED交DE于點(diǎn)F，交CD于點(diǎn)G．

（1）若BC＝4，求AG的長(zhǎng)；

（2）連接BF，求證：AB＝FB．

Answer 1

【答案】（1）AG的長(zhǎng)為2；（2）詳見(jiàn)解析．

【解析】

（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AD＝DC＝BC＝4，∠ADC＝∠C＝90°，進(jìn)而證明△DEC≌△AGD（ASA），再根據(jù)勾股定理即可求解；

（2）延長(zhǎng)DE交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，構(gòu)造全等三角形，再根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，即可證明結(jié)論．

解：（1）∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD＝DC＝BC＝4，∠ADC＝∠C＝90°，

∴∠ADF+∠GDF＝90°，

∵AG⊥ED交DE于點(diǎn)F，

∴∠AFD＝90°，

∴∠ADF+∠DAF＝90°，

∴∠GDF＝∠DAF，

∴△DEC≌△AGD（ASA）

∴DG＝CE，

∵點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，BC＝4，

∴EC＝BC＝2，

∴DG＝2，

∴AG＝＝＝,

∴AG的長(zhǎng)為．

（2）如圖所示，延長(zhǎng)DE交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，

∵E是BC中點(diǎn)，

∴BE＝CE，

∵∠C＝∠HBE＝90°，

∠DEC＝∠HEB，

∴△DCE≌△HBE（ASA）

∴BH＝DC，

∵DC＝AB，

∴BH＝AB，即點(diǎn)B是AH的中點(diǎn)，

∵∠AFH＝90°，

∴在Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．