Question

【題目】已知：如圖，點(diǎn)E、F、G、H分別在菱形ABCD的各邊上，且AE=AH=CF=CG．

（1）求證：四邊形EFGH是矩形；

（2）若AB=6，∠A=60°．

①設(shè)BE=x，四邊形EFGH的面積為S，求S與x之間的函數(shù)表達(dá)式；

②x為何值時(shí)，四邊形EFGH的面積S最大？并求S的最大值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）①②當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大為

【解析】分析：(1)、首先利用菱形的性質(zhì)得到∠A=∠C，∠B=∠D，AB=BC=CD=DA，然后根據(jù)AE=AH=CF=CG，得到BE=BF=DH=DG，從而證得△AEH≌△CGF，△BEF≌△DGH，證得四邊形EFGH是平行四邊形，然后利用有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形判定四邊形EFGH是矩形；(2)、①過(guò)點(diǎn)B作BN⊥EF于點(diǎn)N，根據(jù)題意得出NE和EF的長(zhǎng)度，然后根據(jù)∠A=60°，AE=AH得出△AEH為等邊三角形，從而得出函數(shù)關(guān)系式；②根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求出面積的最大值．

詳解：(1)、∵四邊形ABCD是菱形， ∴.

∵， ∴. ∴. 同理：.

所以四邊形是平行四邊形. 又∵， ∴ .

∴. ∵， ∴.

∵，

∴. ∴. ∴.

∴四邊形是矩形.

(2)、①過(guò)點(diǎn)B作BN⊥EF于點(diǎn)N，根據(jù)題意可得：NE=. ∴，∵，

∴是等邊三角形. ∴， ∴.

②. 當(dāng)時(shí)，.

所以當(dāng)時(shí)，四邊形的面積最大為.