【題目】[材料閱讀]
材料一:如圖,,點在的平分線上,,點,D分別在上.可求得如下結(jié)論:,為定值.
材料二(性質(zhì)):四邊形的內(nèi)角和為.
[問題解決]
(1)如圖,點在的平分線上,的邊與交于點,且,求的值(用含的式子表示).
(2)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線與軸,軸分別交于兩點,點是的中點,,與軸交于點,與軸的正半軸交于點,連接.求的長度.
【答案】(1);(2)的長度為或
【解析】
(1)如圖1,作于點F,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PE=PF,再根據(jù)材料二的結(jié)論和已知條件可得∠OCP=∠FDP,進(jìn)一步即可根據(jù)AAS證明,從而得,由勾股定理易得,進(jìn)而可推出,而OE可根據(jù)勾股定理求出,于是可得結(jié)論;
(2)分情況討論:①若點C在線段AO上,由一次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點可得OA=OB=7,可得△AOB是等腰直角三角形,如圖2,連接,根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)和余角的性質(zhì)可得OP=BP,∠PBO=∠POA =45°,∠OPC=∠BPD,進(jìn)而可根據(jù)ASA證明,可得,然后在中利用勾股定理即可求出CD;
②若點C在射線AO上,如圖3,連接,仿①的思路利用ASA證明,可得,然后在中利用勾股定理求解即可.
解:(1)如圖1,作于點F,∵PO平分∠AOB,PE⊥OA,∴PE=PF,
在四邊形OCPD中,∵,∴由材料二的結(jié)論得:,
∵,∴∠OCP=∠FDP,
在△PEC和△PFD中,∵∠OCP=∠FDP,∠CEP=∠DFP=90°,PE=PF,
∴(AAS),∴.
∵,PE=PF,∴.
∴,
在中,∵,∴;
(2)分情況討論:①若點C在線段AO上,由直線,可得,A(0,7),∴OA=OB=7,∴△AOB是等腰直角三角形,
如圖2,連接,∵P為AB中點,∴OP=AP=BP,∠PBO=∠POC=∠POB=45°,∠OPB=90°,
∵,∴∠BPD+∠OPD=90°,
∵∠OPC+∠OPD=90°,∴∠OPC=∠BPD,
∴(ASA),∴,
又∵OB=7,∴OD=5,則在中,;
②若點C在射線AO上,如圖3,連接,
∵△AOB是等腰直角三角形,P為AB中點,
∴OP=BP,∠PBO=∠POA =45°,∠OPB=90°,
∴∠POC=∠PBD=135°,
又∵,∴∠BPD+∠CPB=90°,
∵∠OPC+∠CPB=90°,∴∠OPC=∠BPD,
∴(ASA),∴,
∵OB=7,∴,則在中,.
綜上所述,的長度為或.
科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,ABCD中,∠ABC=60°,AB=4,AD=8,點E,F(xiàn)分別是邊BC,AD的中點,點M是AE與BF的交點,點N是CF與DE的交點,則四邊形ENFM的周長是______.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD⊥BC于點D,BD=3cm,DC=8cm,AD=4cm,動點P從點B出發(fā),沿折線BA﹣AC向終點C做勻速運(yùn)動,點P在線段BA上的運(yùn)動速度是5cm/s;在線段AC上的運(yùn)動速度是cm/s,當(dāng)點P不與點B、C重合時,過點P作PQ⊥BC于點Q,將△PBQ繞PQ的中點旋轉(zhuǎn)180°得到△QB′P,設(shè)四邊形PBQB′與△ABD重疊部分圖形的面積為y(cm2),點P的運(yùn)動時間為x(s).
(1)用含x的代數(shù)式表示線段AP的長.
(2)當(dāng)點P在線段BA上運(yùn)動時,求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式.
(3)當(dāng)經(jīng)過點B′和△ADC一個頂點的直線平分△ADC的面積時,直接寫出x的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別交于A,B兩點,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過A,B兩點,點P在線段OA上,從點A以1個單位/秒的速度勻速運(yùn)動;同時,點Q在線段AB上,從點A出發(fā),向點B以個單位/秒的速度勻速運(yùn)動,連接PQ,設(shè)運(yùn)動時間為t秒.
(1)求拋物線的解析式;
(2)當(dāng)t為何值時,△APQ為直角三角形;
(3)過點P作PE∥y軸,交AB于點E,過點Q作QF∥y軸,交拋物線于點F,連接EF,當(dāng)EF∥PQ時,求點F的坐標(biāo).
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【題目】如圖,直線與軸相交于點A,與軸相交于點B.
(1)求A、B兩點的坐標(biāo);
(2)求△AOB的面積;
(3)若點P是軸上的一個動點,且△PAB是等腰三角形,則P點的坐標(biāo)為___________.
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【題目】已知四邊形ABCD中,AB=10,BC=8,CD=∠DAC=45°,∠DCA=15°.
(1)求△ADC的面積;
(2)若E為AB的中點,求線段CE的長。
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,AD是等腰△ABC底邊BC上的高,點O是AC中點,延長DO到E
使AE∥BC,連接AE。
(1)求證:四邊形ADCE是矩形;
(2)①若AB=17,BC=16,則四邊形ADCE的面積= ;
②若AB=10,則BC= 時,四邊形ADCE是正方形。
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【題目】如圖,用三個正方形①、2個正方形②、1個正方形③和缺了一個角的長方形④,恰好拼成一個大長方形.根據(jù)圖示數(shù)據(jù),解答下列問題:
(1)用含x的代數(shù)式表示:a=__________cm,b=__________cm;
(2)用含x的代數(shù)式表示大長方形的周長,并求x=5時大長方形的周長.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某新型節(jié)能環(huán)保汽車油箱中原有汽油100升,汽車每行駛50千米耗油8升,試寫出汽車行駛的路程x(千米)與油箱中剩余油量y(升)之間的函數(shù)關(guān)系式,并畫出這個函數(shù)的圖象,函數(shù)的圖象是什么形狀?
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