【題目】已知△ABC中,∠ABC90°,將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后,點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)D,點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)E,直線DE與直線AC交于點(diǎn)F,連接FB

1)如圖1,當(dāng)∠BAC45°時(shí),

①求證:DFAC;

②求∠DFB的度數(shù);

2)如圖2,當(dāng)∠BAC45°時(shí),

①請依題意補(bǔ)全圖2;

②用等式表示線段FCFB,FE之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.

【答案】(1)①詳見解析;②45°;(2)①見解析②FCFEFB

【解析】

1)①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△ABC≌△DBE,再根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和直角三角形的性質(zhì)即可證明;

證法一:先證明AD,B,F四點(diǎn)均在以AB為直徑的圓上,再連接AD,證明ABD是等腰直角三角形即可;證法二:在DE上截取DG=AF,連接BG,根據(jù)SAS可證ABF≌△DBG,再利用全等三角形的性質(zhì)證明GBF是等腰直角三角形,問題即得解決;

2)在CF上截取CG=EF,連接BG,利用SAS可證BCG≌△BFE,再利用全等三角形的性質(zhì)證明△GBF是等腰直角三角形,進(jìn)一步即可得出結(jié)論.

1證明:如圖1,∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°DBE,由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)得,ABC≌△DBE,

∴∠1=∠2,AB=DB,∠ABC=DBE=90°

∵∠1+∠C90°,

∴∠2+∠C90°,

∴∠DFC90°,即DFAC;

解法一:如圖3,連接ADDFAC,DBE=90°∴ ∠DFA= 90°,

A,D,B,F四點(diǎn)均在以AB為直徑的圓上,

AB=DB ,DBE=90°,∴ DAB=45°,

∴∠DFB=∠DAB45°

解法二:如圖3,在DE上截取DG=AF,連接BG,

在△ABF和△DBG中,

∴△ABF≌△DBG

BFBG,∠ABF=∠DBG

∵∠DBA90°,∴∠GBF90°,

∴△GBF是等腰直角三角形,

∴∠DFB45°;

2)補(bǔ)全圖2,如圖4FCFEFB

證明:如圖,在CF上截取CG=EF,連接BG,

在△BCG和△BFE中,

∴△BCG≌△BFE,∴BFBG,∠CBG=∠EBF,

∵∠ABC90°,∴∠GBF90°,

∴△GBF是等腰直角三角形,

,

FCFEFCCG=.

練習(xí)冊系列答案
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(2)當(dāng)a=4時(shí),如圖2,求出b的值;

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A. B. C. D.

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x

y

3)觀察圖象,直接寫出當(dāng)時(shí)的取值范圍;

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