【題目】如圖1,在△ABC中,AB=BC=5,AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的,連接AE.AC和BE相交于點O.
(1)判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形,說明理由;
(2)如圖2,P是線段BC上一動點(圖2),(不與點B、C重合),連接PO并延長交線段AE于點Q,QR⊥BD,垂足為點R.
①四邊形PQED的面積是否隨點P的運動而發(fā)生變化.若變化,請說明理由;若不變,求出四邊形PQED的面積;
②當(dāng)線段PB的長為何值時,△PQR與△BOC相似.
【答案】(1)菱形,證明見解析;(2)①不變,24;②PB=.
【解析】
解:(1)四邊形ABCE是菱形.
∵△ECD是由△ABC沿BC平移得到的,
∴EC∥AB,且EC=AB,
∴四邊形ABCE是平行四邊形,
又∵AB=BC,
∴四邊形ABCE是菱形;
(2)①四邊形PQED的面積不發(fā)生變化.
方法一:∵ABCE是菱形,
∴AC⊥BE,OC=AC=3,
∵BC=5,
∴BO=4,
過A作AH⊥BD于H,(如圖1)
∵,
即,
解得AH=.
或∵∠AHC=∠BOC=90°,∠BCA=∠BCA,
∴△AHC∽△BOC,
∴AH:BO=AC:BC,
即AH:4=6:5,
∴AH=.
由菱形的對稱性知,△PBO≌△QEO,
∴BP=QE,
∴
方法二:由菱形的對稱性知,△PBO≌△QEO,
∴,
∵△ECD是由△ABC平移得到的,
∴ED∥AC,ED=AC=6,
又∵BE⊥AC,
∴BE⊥ED,
∴
=24
②方法一:如圖2,
當(dāng)點P在BC上運動,使△PQR與△COB相似時,
∵∠2是△OBP的外角,
∴∠2>∠3,
∴∠2不與∠3對應(yīng),
∴∠2與∠1對應(yīng),
即∠2=∠1,
∴OP=OC=3
過O作OG⊥BC于G,則G為PC的中點,
∴△OGC∽△BOC,
∴CG:CO=CO:BC,
即CG:3=3:5,
∴CG=,
∴.
方法二:如圖3,
當(dāng)點P在BC上運動,使△PQR與△COB相似時,
∵∠2是△OBP的外角,
∴∠2>∠3,
∴∠2不與∠3對應(yīng),
∴∠2與∠1對應(yīng),
∴QR:BO=PR:OC
即:4=PR:3,
∴PR=,
過E作EF⊥BD于F,設(shè)PB=x,則RF=QE=PB=x,
DF=,
∴BD=PB+PR+RF+DF=,
解得x=.
方法三:如圖4,
若點P在BC上運動,使點R與C重合,
由菱形的對稱性知,O為PQ的中點,
∴CO是Rt△PCQ斜邊上的中線,
∴CO=PO,
∴∠OPC=∠OCP,
此時,Rt△PQR∽Rt△CBO,
∴PR:CO=PQ:BC,
即PR:3=6:5,
∴PR=
∴PB=BC﹣PR=.
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【題目】如圖,在平行四邊形中,分別是和的平分線,若添加以下一個條件,仍無法判斷四邊形為菱形,則這個條件是( )
A.B.
C.D.是的平分線
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【題目】有一項工程,乙隊單獨完成所需的時間是甲隊單獨完成所需時間的2倍,若兩隊合作4天后,剩下的工作甲單獨做還需要6天完成.
(1)求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天;
(2)若甲隊每天的報酬是1萬元,乙隊每天的報酬是0.3萬元,要使完成這項工程時的總報酬不超過9.6萬元,甲隊最多可以工作多少天?
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【題目】某中學(xué)為豐富學(xué)生的校園生活,準(zhǔn)備從體育用品商店一次性購買若干個籃球和足球(每個籃球的價格相同,每個足球的價格也相同).若購買個籃球和個足球共需元,購買個籃球和個足球共需元.
(1)購買一個籃球、一個足球各需多少元?
(2)根據(jù)該中學(xué)的實際情況,需從體育用品商店一次性購買籃球和足球共個.要求購買總金額不能超過元,則最多能購買多少個籃球?
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【題目】如圖,分別過反比例函數(shù)圖象上的點, ...···作軸的垂線,垂足分別為······,連接···再以為一組鄰邊畫一個平行四邊形,以為一組鄰邊畫一個平行四邊形,依此類推,則點的縱坐標(biāo)是_____.(結(jié)果用含代數(shù)式表示)
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【題目】如圖,已知AB是⊙O的直徑,過O點作OP⊥AB,交弦AC于點D,交⊙O于點E,且使∠PCA=∠ABC.
(1)求證:PC是⊙O的切線;
(2)若∠P=60°,PC=2,求PE的長.
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【題目】某高中學(xué)校為使高一新生入校后及時穿上合身的校服,現(xiàn)提前對某校九年級(1)班學(xué)生即將所穿校服型號情況進行摸底調(diào)查,并根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制如圖兩個不完整的統(tǒng)計圖(校服型號以身高作為標(biāo)準(zhǔn),共分為6種型號).
根據(jù)以上信息,解答下列問題:
(1)該班共有多少名學(xué)生?
(2)在條形統(tǒng)計圖中,請把空缺部分補充完整;在扇形統(tǒng)計圖中,請計算185型校服所對應(yīng)的扇形圓心角的大;
(3)求該班學(xué)生所穿校服型號的眾數(shù)和中位數(shù).如果該高中學(xué)校準(zhǔn)備招收2000名高一新生,則估計需要準(zhǔn)備多少套180型號的校服?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知一副直角三角板如圖放置,其中BC=6,EF=8,把30°的三角板向右平移,使頂點B落在45°的三角板的斜邊DF上,則兩個三角板重疊部分(陰影部分)的面積為_____.
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【題目】如圖,正方形,點在邊上,且,,垂足為,且交于點,與交于點,延長至,使,連接.有如下結(jié)論:①;②;③;④.上述結(jié)論中,所有正確結(jié)論的序號是( )
A. ①②B. ①③C. ①②③D. ②③④
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