Question

【題目】在中，，，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到（點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為），射線(xiàn)分別交直線(xiàn)于點(diǎn).

（1）如圖，當(dāng)與重合時(shí)，求的度數(shù)；

（2）如圖，設(shè)與的交點(diǎn)為，當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)；

（3）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)分別在的延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，試探究四邊形的面積是否存在最小值.若存在，求出四邊形的最小面積；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）,見(jiàn)解析.

【解析】

1）由旋轉(zhuǎn)可得：AC=A'C=2，進(jìn)而得到BC=，依據(jù)∠A'BC=90°，可得cos∠A'CB=，即可得到∠A'CB=30°，∠ACA'=60°；
（2）根據(jù)M為A'B'的中點(diǎn)，即可得出∠A=∠A'CM，進(jìn)而得到PB=,BC=，依據(jù)tan∠Q=tan∠A=，即可得到BQ=BC×=2，進(jìn)而得出PQ=PB+BQ=；
（3）依據(jù)S四邊形PA'B′Q=S△PCQ-S△A'CB'=S△PCQ-，即可得到S四邊形PA'B′Q最小，即S△PCQ最小，而S△PCQ=PQ×BC=PQ，利用幾何法或代數(shù)法即可得到S△PCQ的最小值=3，S四邊形PA'B′Q=3-．

解：⑴由旋轉(zhuǎn)可得：，∵∴，

∵，，∴，∴，∴，∴；

⑵∵為的中點(diǎn)，∴，由旋轉(zhuǎn)可得，，∴，

∴，∴，∵，

∴，

∴，∴；

⑶∵，∴最小，即最小，

∴，取的中點(diǎn)，∵，∴，即，

當(dāng)最小時(shí)，最小，∴，即與重合時(shí)，最小，

∴，∴的最小值=3，；