Question

【題目】我們約定，在平面直角坐標(biāo)系中兩條拋物線有且只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，我們稱這兩條拋物線為“郡園牽手拋物線”，這個(gè)交點(diǎn)為“郡園點(diǎn)”．例如：拋物線與是“郡園牽手拋物線”，“郡園點(diǎn)”為．

（1）如圖，若拋物線與為“郡園牽手拋物線”，求的值；

（2）在（1）的條件下，若點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，過作軸，為垂足，求的最大值；

（3）在（1）的條件下，設(shè)點(diǎn)是拋物線與的“郡園點(diǎn)”，點(diǎn)是拋物線上一動點(diǎn)，問在拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)，使是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形？若存在，請直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）或4；（2）；（3）存在，符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，．

【解析】

（1）根據(jù)題意得知與為“郡園牽手拋物線”，即只有一個(gè)交點(diǎn)，聯(lián)立解析式解方程組即可得到答案； （2）由M是第一象限內(nèi)的點(diǎn)可判斷的解析式，設(shè)出用M的坐標(biāo)，用M的坐標(biāo)變量表示出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最大值即可 ； （3）根據(jù)題意畫圖并求出點(diǎn)B坐標(biāo)為（-2，2），當(dāng)拋物線分兩種情況時(shí)依題意構(gòu)造以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，判斷其大致圖象，然后根據(jù)割補(bǔ)法構(gòu)造全等三角形，再用待定系數(shù)法設(shè)出關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)，并表示出全等三角形邊的長度，用對應(yīng)邊相等建立方程組求解即可．

解：（1）由可得：

，

∵只有一個(gè)交點(diǎn)，∴，

∴或4．

（2）∵點(diǎn)是第一象限內(nèi)拋物線上的動點(diǎn)，∴，

設(shè)，其中，

則，

當(dāng)時(shí)，有最大值，且最大值為．

（3）存在． 理由如下：

∵B是拋物線與的“郡園點(diǎn)”．

∴ 解得，，

把代入得，，

所以B點(diǎn)坐標(biāo)為．

如圖1，

當(dāng)拋物線 圖象為時(shí)，

過B、D分別作BP、DQ垂直于拋物線對稱軸直線，

依題意可設(shè)，且由圖可得．

∵△BCD為等腰直角三角形，且C為直角頂點(diǎn) ，

又∵∠CBP+∠BCP=90° ∴∠BCP+∠DCQ=90°，

在△BCP與△DCQ中，

∴△BCP≌△DCQ（AAS） ∴BP=CQ，PC=DQ

即

所以由得，代入得，，

整理得， ， 解得，（舍去），

此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為．

如圖2，

當(dāng)拋物線圖象為時(shí)，

過B、D分別作BG、DF分別平行于拋物線的對稱軸直線，且過C作平行于軸的直線交BG于點(diǎn)G，交DF于點(diǎn)F．

依題意可設(shè)，且由圖可得．

同理可證△BCG≌△CDF（AAS），所以CG=FD，BG=CF

即 解得，（舍去），

此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為．

如圖3，

當(dāng)拋物線圖象為時(shí)，由△BCD是以C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形可得BC=CD=2，此時(shí)D點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)O重合，C點(diǎn)坐標(biāo)為．

如圖4，

當(dāng)拋物線圖象為時(shí)，過B、D分別作BM、DN垂直于y軸交y軸于點(diǎn)M、N．由圖可設(shè)．

同理易證△BCM≌△DCN（AAS） ∴BM=CN，MC=DN

即 由得并代入得，

整理得，，

解得， ，

又∵當(dāng) 時(shí)，過點(diǎn)C且垂直于BC的直線與拋物線沒有交點(diǎn)，故此時(shí)D點(diǎn)不存在． ∴此時(shí)C點(diǎn)坐標(biāo)為．

綜上所述，滿足題意的C點(diǎn)坐標(biāo)可以為,,，．

所以存在,符合條件的點(diǎn)有4個(gè)，,,，．