【題目】如圖1,已知 為正方形 的中心,分別延長 到點 , 到點 ,使 , ,連結 ,將△ 繞點 逆時針旋轉 角得到△ (如圖2).連結 、 .
(Ⅰ)探究 與 的數量關系,并給予證明;
(Ⅱ)當 , 時,求:
① 的度數;
② 的長度.
【答案】解:如圖:
(Ⅰ)∵正方形ABCD中,OA=OD=OB,
又∵OF=2OA,OE=2OD,
∴OE=OF,則OE′=OF′,
在△AOE′和△BOF′中,
∴△AOE′≌△BOF′
∴AE′=BF′;
(Ⅱ)①延長OA到M,使AM=OA,則OM=OE′.
∵正方形ABCD中,∠AOD=90°,
∴∠AOE′=90°﹣30°=60°,
∴△OME′是等邊三角形,
又∵AM=OA,
∴AE′⊥OM,
則∠E′AO=90°,
∴∠AOE′=90°﹣α=60°,
∴在直角△AOE′中,∠AE′O=90°﹣∠AOE′=30°;
②∵∠AOE′=90°﹣α=60°,∠E′OF′=90°,
∴∠AOF′=30°,
又∵∠AOB=90°,
∴∠BOF′=60°,
又∵等腰直角△AOB中,OB= AB= ,
∴在Rt△ABE'中得到AE'= OA= ,
又BF'=AE'
∴BF′= .
【解析】(Ⅰ)由正方形的性質可證明△AOE′≌△BOF′,進而得出結論;
(Ⅱ)①延長OA到M,使AM=OA,則OM=OE′.由正方形的性質和已知可得△OME′是等邊三角形,進而在直角△AOE′中可求出∠AE′O的度數;
②先求出∠BOF′=60°,在等腰直角△AOB中利用三角函數可求出OB的長,在Rt△ABE'中利用三角函數可求出AE′的長,從而可得BF′的長.
科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在每個小正方形邊長為1的方格紙中,△ABC的頂點都在方格紙格點上.將△ABC向左平移2格,再向上平移4格.
(1)請在圖中畫出平移后的△A′B′C′,
(2)再在圖中畫出△A′B′C′的高C′D′,并求出△ABC在整個平移過程中線段AC掃過的面積為________.
(3)能使S△MBC=S△ABC的格點M共有_______個(點M異于點A)
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,菱形ABCD中,∠A是銳角,E為邊AD上一點,△ABE沿著BE折疊,使點A的對應點F恰好落在邊CD上,連接EF,BF,給出下列結論:
①若∠A=70°,則∠ABE=35°;②若點F是CD的中點,則S△ABES菱形ABCD
下列判斷正確的是( 。
A. ①,②都對B. ①,②都錯C. ①對,②錯D. ①錯,②對
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,三角形ABC的頂點坐標分別為,,,把三角形ABC向右平移2個單位長度,再向下平移4個單位長度后得到三角形.
(1)畫出三角形ABC和平移后的圖形;
(2)寫出三個頂點,,的坐標;
(3)求三角形ABC的面積.
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【題目】正方形ABCD中,點E是BD上一點,過點E作EF⊥AE交射線CB于點F,連結CE.
(1)已知點F在線段BC上.
①若AB=BE,求∠DAE度數;
②求證:CE=EF;
(2)已知正方形邊長為2,且BC=2BF,請直接寫出線段DE的長.
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【題目】通過對某校七年級學生體育選修課程的統(tǒng)計,得到以下信息:
①參加選課的總人數為300;
②參加選課的學生在“足球、籃球、排球、乒乓球”中都選擇了一門;
③選足球和選排球的人數共占總人數的50%;選乒乓球的人數是選排球人數的2倍;
選足球和選籃球的人數共占總人數的85%.
設選足球的人數為x,選排球的人數為y,試列出二元一次方程組,分別求出選擇足球、籃球、排球、乒乓球各門課程的人數.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】真假命題的思考.
一天,老師在黑板上寫下了下列三個命題:
①垂直于同一條直線的兩條直線平行;
②若,則
③若和的兩邊所在直線分別平行,則.
小明和小麗對話如下,
小明:“命題①是真命題,好像可以證明.”
小麗:“命題①是假命題,好像少了一些條件.”
(1)結合小明和小麗的對話,談談你的觀點.如果你認為是真命題,請證明:如果你認為是假命題,請增加一個適當的條件,使之成真命題.
(2)請在命題②、命題③中選一個,如果你認為它是真命題,請證明:如果你認為它是假命題,請舉出反例.
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】根據下表中的二次函數 的自變量x與函數y的對應值,可判斷二次函數的圖像與x軸( )
A.只有一個交點
B.有兩個交點,且它們分別在y軸兩側
C.有兩個交點,且它們均在y軸同側
D.無交點
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科目:初中數學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知∠A=∠F,∠C=∠D,試說明BD∥CE.
解:∵∠A=∠F(已知)
∴AC∥DF( )
∴∠D=∠ ( )
又∵∠C=∠D(已知)
∴∠1=∠C(等量代換)
∴BD∥CE( )
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