Question

【題目】如圖，四邊形ABCD為正方形，E為對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作FG⊥AE，FG交射線CD于F，交射線CB于G．

（1）求證：EF=EG

（2）求證：

（3）若AB=4，當(dāng)∠GEB=22.5°，直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）

【解析】

（1）如下圖，先證△ABE≌△CBE，得出∠1=∠3，再通過(guò)角度轉(zhuǎn)化，得出∠2=∠3和∠4=∠5，從而得出EF=EC=EG；

（2）如下圖，先得出△GEH∽△GFC，根據(jù)相似三角形的線段成比例可求證；

（3）存在2種情況，一種是點(diǎn)F在線段CD上，另一種是點(diǎn)F在射線CD上，且在點(diǎn)D的上方，分別利用相似三角形和勾股定理可求得．

（1）證明：連接CE

∵四邊形ABCD為正方形

∴BA=BC，∠ABC=∠BCD=90°

∠ABE=∠CBE=45°

又∵BE=BE

∴△ABE≌△CBE(SAS)

∴∠1=∠3

又∵FG⊥AE

∴∠AEM=90°

∴∠1+∠AME=90°

又∵∠2+∠BMG=∠ABC=90° ∠AME=∠BMG

∴∠1=∠2

∴∠2=∠3

∴EG=EC

又∵∠3+∠4=90° ∠2+∠5=90°

∴∠4=∠5

∴EF=EC

∴EF=EG

（2）作EH⊥BC交BC于H

則∠GHE=90°=∠BCD

又∵∠2=∠2

∴△GEH∽△GFC

∴

∴FC=2EH=2×

（3）情況一：點(diǎn)F在線段CD上，圖形如下

∵∠GEB=22.5°，BD是正方形ABCD的對(duì)角線

∴∠DBC=45°，∠BGE=22.5°

∴GB=BE

設(shè)BH=x，則HC=4－x

∴GB=HC－BH=4－2x=BE

∵CF=

∴CF=

∴EH=

在Rt△EBH中，

解得：x=4或x=4(舍)

∴CF=8

情況二：點(diǎn)F在射線CD上，且在點(diǎn)D的上方，圖形如下，連接EC，過(guò)點(diǎn)E作EH⊥CD于點(diǎn)H

同理可得FC=

綜上得；CF=．