【題目】如圖,將一張邊長為8的正方形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,使得OAy軸重合,OCx軸重合,點(diǎn)P為正方形AB邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合).將正方形紙片折疊,使點(diǎn)O落在P處,點(diǎn)C落在G處,PGBCH,折痕為EF.連接OP、OH

初步探究

1)當(dāng)AP=4

直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo)    ;

求直線EF的函數(shù)表達(dá)式.

深入探究

2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上移動時,∠APO與∠OPH的度數(shù)總是相等,請說明理由.

拓展應(yīng)用

3)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上移動時,△PBH的周長是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論.

【答案】1(0,5);;(2)理由見解析;(3)周長=16,不會發(fā)生變化,證明見解析.

【解析】

1設(shè):OEPEa,則AE8a,AP4,在RtAEP中,由勾股定理得:PE2AE2+AP2,即可求解;

證明△AOP≌△FREAAS),則ERAP4,故點(diǎn)F8,1),即可求解;

2)∠EOP=∠EPO,而∠EPH=∠EOC90°,故∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP,即∠POC=∠OPH,又因為ABOC,故∠APO=∠POC,即可求解;

3)證明△AOP≌△QOPAAS)、△OCH≌△OQHSAS),則CHQH,即可求解.

1設(shè):OE=PE=a,則AE=8a,AP=4,

Rt△AEP中,由勾股定理得:PE2=AE2+AP2,

a2=(8a)2+16,解得:a=5,

故點(diǎn)E(0,5)

故答案為:(0,5);

過點(diǎn)FFRy軸于點(diǎn)R,

折疊后點(diǎn)O落在P處,則點(diǎn)O、P關(guān)于直線EF對稱,則OPEF,

∴∠EFR+∠FER=90°,而FER+∠AOP=90°,

∴∠AOP=∠EFR,

OAP=∠FRE,RF=AO

∴△AOP≌△FRE(AAS),

ER=AP=4,

OR=EOOR=54=1,故點(diǎn)F(8,1),

將點(diǎn)E、F的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=kx+b

得:,解得:

故直線EF的表達(dá)式為:y=x+5;

2PE=OE,

∴∠EOP=∠EPO

∵∠EPH=∠EOC=90°,

∴∠EPHEPO=∠EOCEOP

POC=∠OPH

ABOC,

∴∠APO=∠POC,

∴∠APO=∠OPH;

3)如圖,過OOQPH,垂足為Q

由(1)知APO=∠OPH,

AOPQOP中,

∴△AOP≌△QOP(AAS),

AP=QP,AO=OQ

AO=OC,

OC=OQ

∵∠C=∠OQH=90°,OH=OH,

∴△OCH≌△OQH(SAS),

CH=QH,

∴△PHB的周長=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16

故答案為:16

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②判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;

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