【題目】如圖,將一張邊長為8的正方形紙片OABC放在直角坐標(biāo)系中,使得OA與y軸重合,OC與x軸重合,點(diǎn)P為正方形AB邊上的一點(diǎn)(不與點(diǎn)A、點(diǎn)B重合).將正方形紙片折疊,使點(diǎn)O落在P處,點(diǎn)C落在G處,PG交BC于H,折痕為EF.連接OP、OH.
初步探究
(1)當(dāng)AP=4時
①直接寫出點(diǎn)E的坐標(biāo) ;
②求直線EF的函數(shù)表達(dá)式.
深入探究
(2)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上移動時,∠APO與∠OPH的度數(shù)總是相等,請說明理由.
拓展應(yīng)用
(3)當(dāng)點(diǎn)P在邊AB上移動時,△PBH的周長是否發(fā)生變化?并證明你的結(jié)論.
【答案】(1)①(0,5);②;(2)理由見解析;(3)周長=16,不會發(fā)生變化,證明見解析.
【解析】
(1)①設(shè):OE=PE=a,則AE=8﹣a,AP=4,在Rt△AEP中,由勾股定理得:PE2=AE2+AP2,即可求解;
②證明△AOP≌△FRE(AAS),則ER=AP=4,故點(diǎn)F(8,1),即可求解;
(2)∠EOP=∠EPO,而∠EPH=∠EOC=90°,故∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP,即∠POC=∠OPH,又因為AB∥OC,故∠APO=∠POC,即可求解;
(3)證明△AOP≌△QOP(AAS)、△OCH≌△OQH(SAS),則CH=QH,即可求解.
(1)①設(shè):OE=PE=a,則AE=8﹣a,AP=4,
在Rt△AEP中,由勾股定理得:PE2=AE2+AP2,
即a2=(8﹣a)2+16,解得:a=5,
故點(diǎn)E(0,5).
故答案為:(0,5);
②過點(diǎn)F作FR⊥y軸于點(diǎn)R,
折疊后點(diǎn)O落在P處,則點(diǎn)O、P關(guān)于直線EF對稱,則OP⊥EF,
∴∠EFR+∠FER=90°,而∠FER+∠AOP=90°,
∴∠AOP=∠EFR,
而∠OAP=∠FRE,RF=AO,
∴△AOP≌△FRE(AAS),
∴ER=AP=4,
OR=EO﹣OR=5﹣4=1,故點(diǎn)F(8,1),
將點(diǎn)E、F的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式:y=kx+b
得:,解得:,
故直線EF的表達(dá)式為:y=﹣x+5;
(2)∵PE=OE,
∴∠EOP=∠EPO.
又∵∠EPH=∠EOC=90°,
∴∠EPH﹣∠EPO=∠EOC﹣∠EOP.
即∠POC=∠OPH.
又∵AB∥OC,
∴∠APO=∠POC,
∴∠APO=∠OPH;
(3)如圖,過O作OQ⊥PH,垂足為Q.
由(1)知∠APO=∠OPH,
在△AOP和△QOP中,
∴△AOP≌△QOP(AAS),
∴AP=QP,AO=OQ.
又∵AO=OC,
∴OC=OQ.
又∵∠C=∠OQH=90°,OH=OH,
∴△OCH≌△OQH(SAS),
∴CH=QH,
∴△PHB的周長=PB+BH+PH=AP+PB+BH+HC=AB+CB=16.
故答案為:16.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】甲、乙兩同學(xué)玩“托球賽跑”游戲,商定:用球拍托乒乓球從起跑線1起跑,繞過點(diǎn)跑回到起跑線(如圖示),途中乒乓球掉下來時須撿起并回到掉球處繼續(xù)賽跑,結(jié)果:甲同學(xué)由于心急,掉了球,浪費(fèi)了6秒鐘,乙同學(xué)則順利跑完;事后,甲同學(xué)說:“我倆所用的全部時間的和為50秒”,乙同學(xué)說“撿球過程不算在內(nèi)時,甲的速度是我的1.2倍”根據(jù)圖文信息,求出兩人所用的時間.
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【題目】如圖,△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=3,點(diǎn)P是AB邊上一動點(diǎn).
當(dāng)△PCB是等腰三角形時,求AP的長度.
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【題目】如圖,等邊三角形的頂點(diǎn)A(1,1)、B(3,1),規(guī)定把等邊△ABC“先沿y軸翻折,再向下平移1個單位”為一次變換,如果這樣連續(xù)經(jīng)過2020次變換后,等邊△ABC的頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為____.
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【題目】如圖,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=36°,點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(點(diǎn)D不與點(diǎn)B、C重合),連接AD,作∠ADE=36°,DE交線段AC于點(diǎn)E.
(1)當(dāng)∠BDA=128°時,∠EDC= ,∠AED= ;
(2)線段DC的長度為何值時,△ABD≌△DCE?請說明理由;
(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動過程中,△ADE的形狀可以是等腰三角形嗎?若可以,請直接寫出∠BDA的度數(shù);若不可以,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,一架長25米的梯子,斜靠在豎直的墻上,這時梯子底端離墻7米.
(1)此時梯子頂端離地面多少米?
(2)若梯子頂端下滑4米,那么梯子底端將向左滑動多少米?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+2與x軸相交于A(﹣1,0),B(4,0)兩點(diǎn),與y軸相交于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式;
(2)將△ABC繞AB中點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)180°,得到△BAD.
①求點(diǎn)D的坐標(biāo);
②判斷四邊形ADBC的形狀,并說明理由;
(3)在該拋物線對稱軸上是否存在點(diǎn)P,使△BMP與△BAD相似?若存在,請求出所有滿足條件的P點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),頂點(diǎn)坐標(biāo)(1,n)與y軸的交點(diǎn)在(0,2),(0,3)之間(包含端點(diǎn)),則下列結(jié)論:①3a+b<0;②-1≤a≤-;③對于任意實數(shù)m,a+b≥am2+bm總成立;④關(guān)于x的方程ax2+bx+c=n-1有兩個不相等的實數(shù)根.其中結(jié)論正確的個數(shù)為( )
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
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【題目】如圖是一張月歷表,在此月歷表上用一個正方形任意圈出 2×2個數(shù)(如 1,2,8,9), 如果圈出的四個數(shù)中的最小數(shù)與最大數(shù)的積為 308,那么這四個數(shù)的和為( )
A.68B.72C.74D.76
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