【題目】如圖1,在正方形ABCD中,P為對(duì)角線BD上的一點(diǎn),點(diǎn)E在AD的延長(zhǎng)線上,且PA=PE,PE交CD于F,連接CE.
(1)求證:△PCE是等腰直角三角形;
(2)如圖2,把正方形ABCD改為菱形ABCD,其他條件不變,當(dāng)∠ABC=120°時(shí),判斷△PCE的形狀,并說(shuō)明理由.
【答案】(1)見解析;(2)△PCE是等邊三角形.理由見解析.
【解析】
(1)由△PDA≌△PDC,推出PA=PC,∠3=∠1,由PA=PE,推出∠2=∠3,推出∠1=∠2,由∠EDF=90°,∠DFE=∠PFC,推出∠FPC=EDF=90°,推出△PEC是等腰直角三角形;
(2)由△PDA≌△PDC,推出PA=PC,∠3=∠1,由PA=PE,推出∠2=∠3,PA═PE=PC,推出∠1=∠2,由∠DFE=∠PFC,推出∠EPC=∠EDC,由∠ADC=120°,推出∠EDC=60°,推出∠EPC=60°,由PE=PC,即可證明△PEC是等邊三角形.
(1)證明:如圖1中,
∵四邊形ABCD是正方形,
∴AD=DC,∠ADB=∠CDB=45°,∠ADC=90°,
在△PDA和△PDC中,
,
∴△PDA≌△PDC,
∴PA=PC,∠3=∠1,
∵PA=PE,
∴∠2=∠3,
∴∠1=∠2,
∵∠EDF=90°,∠DFE=∠PFC,
∴∠FPC=EDF=90°,
∴△PEC是等腰直角三角形.
(2)解:如圖2中,結(jié)論:△PCE是等邊三角形.
理由:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AD=DC,∠ADB=∠CDB,∠ADC=∠ABC=120°,
在△PDA和△PDC中,
,
∴△PDA≌△PDC,
∴PA=PC,∠3=∠1,
∵PA=PE,
∴∠2=∠3,PA═PE=PC,
∴∠1=∠2,
∵∠DFE=∠PFC,
∴∠EPC=∠EDC,
∵∠ADC=120°,
∴∠EDC=60°,
∴∠EPC=60°,
∵PE=PC,
∴△PEC是等邊三角形.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知:如圖,是直角,在的外側(cè),且,是的平分線,是的平分線.
(1)求的大小;
(2)當(dāng)銳角的大小為時(shí),試猜想(1)中的大小是否發(fā)生改變?并通過(guò)計(jì)算說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某公司購(gòu)買了一批A、B兩種型號(hào)的產(chǎn)品,其中A型產(chǎn)品的單價(jià)比B型產(chǎn)品的單價(jià)多6元,已知該公司用1400元購(gòu)買A型產(chǎn)品的件數(shù)與用1160元購(gòu)買B型產(chǎn)品的件數(shù)相等.
(1)求該公司購(gòu)買的A、B兩種型號(hào)產(chǎn)品的單價(jià)各是多少元?
(2)若兩種型號(hào)的產(chǎn)品共購(gòu)買了100件,且購(gòu)買的總費(fèi)用為3260元,求購(gòu)買了多少件A型產(chǎn)品?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn),,,其中,以點(diǎn)為頂點(diǎn)的平行四邊形有三個(gè),記第四個(gè)頂點(diǎn)分別為,如圖所示.
(1)若,則點(diǎn)的坐標(biāo)分別是( ),( ),( );
(2)是否存在點(diǎn),使得點(diǎn)在同一條拋物線上?若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo);若不存在,說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】(閱讀理解)若數(shù)軸上兩點(diǎn),所表示的數(shù)分別為和,則有:
①,兩點(diǎn)的中點(diǎn)表示的數(shù)為;
②,兩點(diǎn)之間的距離;若,則可簡(jiǎn)化為.
(解決問題)數(shù)軸上兩點(diǎn),所表示的數(shù)分別為和,且滿足.
(1)求出,兩點(diǎn)的中點(diǎn)表示的數(shù);
(2)點(diǎn)從原點(diǎn)點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng),經(jīng)過(guò)秒后點(diǎn)到點(diǎn)的距離是點(diǎn)到點(diǎn)距離的倍,求點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度是每秒多少個(gè)單位長(zhǎng)度?
(數(shù)學(xué)思考)
(3)點(diǎn)以每秒個(gè)單位的速度從原點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng),同時(shí),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以每秒個(gè)單位的速度向左運(yùn)動(dòng),點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā),以每秒個(gè)單位的速度向右運(yùn)動(dòng),、分別為、的中點(diǎn).思考:在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中,的值是否發(fā)生變化?如果沒有變化,請(qǐng)求出這個(gè)值;如果發(fā)生變化,請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】2019年小張前五個(gè)月的獎(jiǎng)金變化情況如下表(正數(shù)表示比前一月多的錢數(shù),負(fù)數(shù)表示比前一月少的錢數(shù),單位:元)
月份 | 一月 | 二月 | 三月 | 四月 | 五月 |
錢數(shù)變化 |
若2018年12月份小張的獎(jiǎng)金為元.
(1)用代數(shù)式表示2019年二月份小張的獎(jiǎng)金為___________元;
(2)小張五月份所得獎(jiǎng)金比二月份多多少?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】觀察算式:1×3+1=4=22;2×4+1=9=32;3×5+1=16=42;4×6+1=25=52,…
(1)請(qǐng)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律填空:6×8+1=( )2;
(2)用含n的等式表示上面的規(guī)律: ;
(3)用找到的規(guī)律解決下面的問題:
計(jì)算:(1+)(1+)(1+)(1+)…(1+)
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校學(xué)生會(huì)為積極響應(yīng)武漢市文明創(chuàng)建活動(dòng),組織有關(guān)方面的知識(shí)競(jìng)賽,共設(shè)有20道選擇題,各題分值相同,每題必答,下表記錄了3個(gè)參賽者的得分情況.
參賽者 | 答對(duì)題數(shù) | 答錯(cuò)題數(shù) | 得分 |
A | 20 | 0 | 100 |
B | 19 | 1 | 94 |
C | 18 | 2 | 88 |
(1)設(shè)答對(duì)一題記a分,答錯(cuò)一題記b分,則a= b= ;
(2)參賽者E說(shuō)他得了80分,你認(rèn)為可能嗎,為什么?
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,已知中,,,將繞點(diǎn)順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到的位置,連接,則的長(zhǎng)為( )
A.B.C.D.
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