Question

【題目】如圖，已知直線y＝ax+b與雙曲線y＝（x＞0）交于A（x1，y1），B（x2，y2）兩點(diǎn)，點(diǎn)A與點(diǎn)B不重合，直線AB與x軸交于點(diǎn)P（x0，0），與y軸交于點(diǎn)C.

（1）若A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，4），（4，y2），求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

（2）若b＝y1+1，x0＝6，且y1＝2y2，求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（3）若將（1）中的點(diǎn)A，B繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，A點(diǎn)對應(yīng)的點(diǎn)為A′，B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)為B′點(diǎn)，連接AB′，A′B′，動點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)沿線段AB′以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)B′運(yùn)動；動點(diǎn)N同時從B′點(diǎn)出發(fā)沿線段B′A′以每秒1個單位長度的速度向終點(diǎn)A′運(yùn)動，當(dāng)其中一個點(diǎn)停止運(yùn)動時另一個點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動．設(shè)運(yùn)動的時間為t秒，試探究：是否存在使△MNB′為等腰直角三角形的t值，若存在，求出t的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）P（5，0）；（2）A（2，2），B（4，1）；（3）存在，t的值為8﹣8或16﹣8．

【解析】

（1）先把A（1，3）），B（3，y2）代入y=求得反比例函數(shù)的解析式，進(jìn)而求得B的坐標(biāo)，然后把A、B代入y=ax+b利用待定系數(shù)法即可求得直線的解析式，繼而即可求得P的坐標(biāo)；
（2）作AD⊥y軸于D，AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，BG⊥y軸于G，AE、BG交于H，則AD∥BG∥x軸，AE∥BF∥y軸，得出，，根據(jù)題意得出，，從而求得B（ y1），然后根據(jù)k=xy得出x1y1=y1，求得x1=2，代入，解得y1=2，即可求得A、B的坐標(biāo)；
（3）如圖2，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到B′（1，-4），求得AB′=8，求得AM=BN=t，B′M=8-t，①當(dāng)∠B′N1M1=90°，②當(dāng)∠B′M2N2=90°，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．

（1）∵直線y=ax+b與雙曲線y=（x＞0）交于A（1，4）
∴k=1×4=4，
∴y=，
∵B（4，y2）在反比例函數(shù)的圖象上，
∴y2==1，
∴B（4，1），
∵直線y=ax+b經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，
∴，解得，
∴直線為y=-x+5，
令y=0，則x=5，
∴P（5，0）；
（2）如圖，作AD⊥y軸于D，AE⊥x軸于E，BF⊥x軸于F，BG⊥y軸于G，AE、BG交于H，

則AD∥BG∥x軸，AE∥BF∥y軸，
∴，
∵b=y1+1，y1=2y2，
∴，，
∴B（y1），∵A，B兩點(diǎn)都是反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)，
∴x1y1=y1，
解得x1=2，
代入，解得y1=2，
∴A（2，2），B（4，1）；
（3）存在，

如圖2，∵A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為（1，4），（4，1），將B繞原點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°，
∴B′（1，-4），
∴AB′=8，
由題意得：AM=BN=t，
∴B′M=8-t，
∵△MNB′為等腰直角三角形，
∴①當(dāng)∠B′N1M1=90°，即B′M1=B′N1，
∴8-t=t，
解得：t=8-8；
②當(dāng)∠B′M2N2=90°，即B′N2=B′M2，
∴t=（8-t），
解得：t=16-8；
綜上所述，t的值為8-8或16-8．