Question

【題目】（1）問題發(fā)現(xiàn)

如圖1，四邊形ABCD為矩形，AB=a，BC=b，點P在矩形ABCD的對角線AC上，Rt△PEF的兩條直角邊PE，PF分別交BC，DC于點M，N，當(dāng)PM⊥BC，PN⊥CD時， =　 　（用含a，b的代數(shù)式表示）．

（2）拓展探究

在（1）中，固定點P，使△PEF繞點P旋轉(zhuǎn)，如圖2，的大小有無變化？請僅就圖2的情形給出證明．

（3）問題解決

如圖3，四邊形ABCD為正方形，AB=BC=a，點P在對角線AC上，M，N分別在BC，CD上，PM⊥PN，當(dāng)AP=nPC時，（n是正實數(shù)），直接寫出四邊形PMCN的面積是　 　（用含n，a的代數(shù)式表示）

Answer 1

【答案】(1);(2)見解析;(3)

【解析】分析：（1）先判斷出△PMC∽△ABC，得出，再判斷出四邊形CNPM是矩形，即可得出結(jié)論；
（2）先過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，判定△PGM∽△PHN，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)以及平行線分線段成比例定理進(jìn)行推導(dǎo)計算即可；
（3）先判定△PMC∽△ABC，再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例進(jìn)行求解，再計算其面積；

詳解：

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB⊥BC，

∵PM⊥BC，

∴△PMC∽△ABC

∴

∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠BCD=90°，

∵PM⊥BC，PN⊥CD，

∴∠PMC=∠PNC=90°=∠BCD，

∴四邊形CNPM是矩形，

∴CM=PN，

∴，

故答案為；

（2）如圖3，過P作PG⊥BC于G，作PH⊥CD于H，則∠PGM=∠PHN=90°，∠GPH=90°

∵Rt△PEF中，∠FPE=90°

∴∠GPM=∠HPN

∴△PGM∽△PHN

∴

由PG∥AB，PH∥AD可得，,

∵AB=a，BC=b

∴，即,

∴，

故答案為 ；

（3）∵PM⊥BC，AB⊥BC

∴△PMC∽△ABC

∴

當(dāng)AP=nPC時（n是正實數(shù)），

∴PM=a

∴四邊形PMCN的面積=，

故答案為：．