Question

【題目】（問(wèn)題提出）

求證：如果一個(gè)定圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角線互相垂直，那么這個(gè)四邊形每組對(duì)邊的平方和是一個(gè)定值．

（從特殊入手）

我們不妨設(shè)定圓O的半徑是R，⊙O的內(nèi)接四邊形ABCD中，AC⊥BD．請(qǐng)你在圖①中補(bǔ)全特殊位置時(shí)的圖形，并借助于所畫圖形探究問(wèn)題的結(jié)論．

（問(wèn)題解決）

已知：如圖②，定圓⊙O的半徑是R，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形， AC⊥BD．

求證： ．

證明：

Answer 1

【答案】【從特殊入手】證明見解析；【問(wèn)題解決】AB2+CD2=BC2+AD2=4R2；證明見解析.

【解析】

【從特殊入手】：根據(jù)正方形的性質(zhì)、勾股定理計(jì)算；
【問(wèn)題解決】：根據(jù)題意寫出已知、求證，作直徑DE，連接CE，根據(jù)圓周角定理證明∠ADB＝∠CDE，得到AB=CE，根據(jù)勾股定理計(jì)算．

【從特殊入手】

解：如果一個(gè)定圓的內(nèi)接四邊形對(duì)角線互相垂直，

那么這個(gè)四邊形的對(duì)邊平方和是定圓半徑平方的4倍．

情況一： 如圖1，當(dāng)AC、BD是兩條互相垂直的直徑時(shí)．

則AB2＝OA2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2，

CD2＝OC2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2，

BC2＝OC2＋ OB2＝R2＋R2＝2R2，

AD2＝OA2＋ OD2＝R2＋R2＝2R2．

所以AB2＋CD2＝BC2＋AD2＝2R2＋2R2＝4R2．

情況二： 如圖2，當(dāng)AC⊥BD，且AC直徑時(shí)．

根據(jù)垂徑定理可知：AB＝AD，BC＝DC．

因?yàn)?/span>AC是直徑，所以∠ABC＝∠ADC＝90°．

所以AB2＋CD2＝AD2＋CD2＝AC2＝4R2．

【問(wèn)題解決】

求證：AB2+CD2=BC2+AD2=4R2

證明：如圖3．作直徑DE，連接CE．

∵DE是直徑，∴∠DCE＝90°．

∵ 所對(duì)的圓周角是∠E與∠DAH，

∴∠E＝∠DAH．

∵∠DAC＋∠ADB＝90°，∠E＋∠CDE＝90°，

∴∠ADB＝∠CDE．

∴ ．∴AB＝CE．

∴AB2＋CD2＝CE2＋CD2＝DE2＝4R2．

同理：BC2＋AD2＝4R2．