【題目】已知∠BAE與∠BCD互為補角,ABAE,CBCD,連接ED,點PED的中點.

1)如圖1,若點A,BC三點在同一條直線上.

①求證:∠EBD90°;②求證:APBD

2)如圖2,若點A,B,C三點不在同一條直線上,求證:APCP

【答案】1)①見解析;②見解析;(2)見解析.

【解析】

1)①設∠EAB=x,∠BCD=y,由∠BAE與∠BCD互為補角,得出x+y=180°,AECD,由AE=AB,得出∠ABE=90°-x,由CB=CD,得出∠CBD=90°-y,即可得出結論;
②延長APCD延長線于點K,由AECD,得出∠EAP=DKP,由AAS證得AEP≌△KDP,得出DK=AE=AB,證得CA=CK,得出∠CAP=90°-y=CBD,即可得出結論;
2)設∠EAB=x,∠BCD=y,延長APK,使PK=AP,連接KD,由SAS證得AEP≌△KDP,得出KD=AE,∠EAP=DKP,AEKD,延長ABKD于點T,延長KDBC延長線于點H,則∠ATK=180°-EAB=180°-x=y,證得∠ATK=BCD=y,∠DCH=BTH,得出∠TBC=CDH,∠ABC=KDC,連接ACKC,由SAS證得ABC≌△KDCSAS),得出CA=CK,即可得出結論.

1)①設∠EABx,∠BCDy,

∵∠BAE與∠BCD互為補角,

x+y180°,AECD

AEAB,

∴∠ABE90°﹣x,

CBCD

∴∠CBD90°﹣y,

∴∠EBD180°﹣∠ABE﹣∠CBD180°﹣90°+x90°+yx+y)=90°;

②延長APCD延長線于點K,如圖1所示:

AECD

∴∠EAP=∠DKP,

在△AEP和△KDP中,

∴△AEP≌△KDPAAS),

DKAEAB,

CBCD,

CACK

∴∠CAP90°﹣y=∠CBD,

APBD;

2)設∠EABx,∠BCDy,

∵∠BAE與∠BCD互為補角,

x+y180°,

延長APK,使PKAP,連接KD,如圖2所示:

在△AEP和△KDP中,

∴△AEP≌△KDPSAS),

KDAE,∠EAP=∠DKP,

AEKD,

延長ABKD于點T,延長KDBC延長線于點H,則∠ATK180°﹣∠EAB180°﹣xy,

∴∠ATK=∠BCDy

∴∠DCH=∠BTH,

∵∠H=∠H,

∴∠TBC=∠CDH,

∴∠ABC=∠KDC,

連接ACKC,

在△ABC和△KDC中,

∴△ABC≌△KDCSAS),

CACK,

PAPK

APCP

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