Question

【題目】拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和B（2，0），直線y＝x+m經(jīng)過點(diǎn)A和拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為C．

（1）求拋物線的解析式．

（2）動(dòng)點(diǎn)P、Q從點(diǎn)A出發(fā)，分別沿線段AC和射線AO運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度分別是每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度．連接PQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，△APQ的面積為s，求s與t的函數(shù)關(guān)系式．（不寫t的取值范圍）

（3）在（2）的條件下，線段PQ交拋物線于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段AP上，且AE＝AQ，連接ED，過點(diǎn)D作DF⊥DE交x軸于點(diǎn)F，當(dāng)DF＝DE時(shí)，求點(diǎn)F的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S＝3；（3）點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0）

【解析】

（1）利用點(diǎn)A、B坐標(biāo)，用待定系數(shù)法即求得解析式．
（2）根據(jù)題意畫出PQ，易得以AQ為底來求△APQ面積較容易，故過點(diǎn)P作x軸的垂線PH．利用相似△對(duì)應(yīng)邊的比相等，用t表示PH，則寫出s與t的關(guān)系式．
（3）由DE⊥DF且DF=DE聯(lián)想到構(gòu)造相似三角形，故過點(diǎn)D作MN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EM⊥MN于點(diǎn)M構(gòu)造△NDF∽△MED，相似比為．設(shè)D（d，），F（f，0），再有E的坐標(biāo)可用t表示，則兩相似三角形的邊都能用d、t、f表示，且根據(jù)相似比為列得兩個(gè)方程．又由P、Q坐標(biāo)求得直線PQ的解析式（含t），點(diǎn)D在直線PQ上又滿足解析式，列得第三個(gè)方程．解三元方程組，即求得f．

（1）∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）和B（2，0），

∴ 解得：

∴拋物線的解析式為 .

（2）設(shè)AC與y軸交點(diǎn)為G，過點(diǎn)P作PH⊥x軸于點(diǎn)H，

依題意得：AP＝4t，AQ＝3t

∵直線AC：y＝x+m經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0）

∴-+m＝0，得m＝

∴直線AC解析式為：y＝x+

∴G（0，），OG＝

∴AG＝=2

∵GO∥PH

∴△AGO∽△APH

∴=

∴PH＝= =2t

∴s＝AQPH＝t=3

（3）過點(diǎn)D作MN⊥x軸于點(diǎn)N，過點(diǎn)E作EM⊥MN于點(diǎn)M，作ER⊥x軸于點(diǎn)R

∴四邊形EMNR是矩形，△AGO∽△AER

∴==

∵AE＝AQ＝3t，AG＝2，GO＝，AO＝1

∴MN＝ER＝t，AR＝

∴E（﹣1+，t）

設(shè)點(diǎn)D（d，），F（f，0）

∴EM＝d﹣（﹣1+）＝d+1﹣，MD＝t-，DN＝，FN＝d﹣f

∵DE⊥DF

∴∠EMD＝∠EDF＝∠DNF＝90°

∴∠MED+∠MDE＝∠MDE+∠NDF＝90°

∴∠NDF＝∠MED

∴△NDF∽△MED

∴ = = =

∴DN＝EM，FN＝MD

∴=(d+1-)①

d﹣f＝[-()]②

∵P（﹣1+2t，2t），Q（﹣1+3t，0）

∴直線PQ解析式為：y＝﹣2x+6t﹣2

∵點(diǎn)D為PQ與拋物線交點(diǎn)

∴﹣2d+6t﹣2=③

把①③聯(lián)立方程組解得： ,（舍去）

∴由②得：f＝+d--t＝1

∴點(diǎn)F坐標(biāo)為（1，0）