Question

【題目】如圖，已知直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)的橫坐標(biāo)為3，則下列結(jié)論：①k=3；②關(guān)于x的不等式的解集為或；③若雙曲線上有一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為6，則△AOC的面積為8；④若在軸上有一點(diǎn)M，軸上有一點(diǎn)N，且點(diǎn)M、N、A、C四點(diǎn)恰好構(gòu)成平行四邊形，則M、N點(diǎn)的坐標(biāo)分別為M(2,0)、N(0,4)，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)( )

A. 4個(gè) B. 3個(gè) C. 2個(gè) D. 1個(gè)

Answer 1

【答案】B

【解析】分析：①直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，代入正比例函數(shù)，可求得點(diǎn)A的坐標(biāo)，繼而求得k值；②根據(jù)對(duì)稱性，可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)，結(jié)合圖象，即可求得關(guān)于x的不等式的解集；③過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥軸于點(diǎn)E，可得S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC，又由雙曲線y= (k＞0)上有一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為6，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，繼而求得答案；④由當(dāng)MN∥AC，且MN=AC時(shí)，點(diǎn)M、N、A、C四點(diǎn)恰好構(gòu)成平行四邊形，根據(jù)平移的性質(zhì)，即可求得答案．

詳解：

∵直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，A點(diǎn)橫坐標(biāo)為3，

∴點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為：y=×3=2，

∴點(diǎn)A（3，2），

∴2=，

∴k=6；

①錯(cuò)誤；

∵直線與雙曲線交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A（3，2），

∴B（-3，-2），

∴關(guān)于x的不等式的解集為或；

②正確；

過(guò)點(diǎn)C作CD⊥x軸于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥軸于點(diǎn)E，

∵雙曲線y= (k＞0)上有一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為6，

∴把y=6代入y=得：x=1，

∴點(diǎn)C（1，6），

∴S△AOC=S△OCD+S梯形AEDC-S△AOE=S梯形AEDC=×（2+6）×（3-1）=8；

③正確；

如圖，當(dāng)MN∥AC，且MN=AC時(shí)，點(diǎn)M、N、A、C四點(diǎn)恰好構(gòu)成平行四邊形，

∵點(diǎn)A（3，2），點(diǎn)C（1，6），

∴根據(jù)平移的性質(zhì)可得：M（2，0），N（0，4）或M′（-2，0），N′（0，-4）．

④正確；

綜上，正確的結(jié)論有3個(gè)，故選B.