【題目】在平面直角坐標(biāo)系xoy中, 一塊含60°角的三角板作如圖擺放,斜邊AB在x軸上,直角頂點C在y軸正半軸上,已知點A(-1,0).

(1)請直接寫出點B、C的坐標(biāo):B( )、C( , );并求經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式;

(2)現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF(其中∠EDF=90°,∠DEF=60°),把頂點E放在線段AB上(點E是不與A、B兩點重合的動點),并使ED所在直線經(jīng)過點C. 此時,EF所在直線與(1)中的拋物線交于第一象限的點M.連接MB和MC,當(dāng)△OCE∽△OBC時,判斷四邊形AEMC的形狀,并給出證明;

(3)有一動點P在(1)中的拋物線上運(yùn)動,是否存在點P,以點P為圓心作圓能和直線AC和x軸同時相切 ,若存在,求出圓心P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.

【答案】(1)B(3,0),C(0, )過A、B、C三點的拋物線解析式為;

(2)四邊形AEMC是菱形,證明見解析;

(3)存在點P滿足條件,點P坐標(biāo)為(2, )或(6,-7

【解析】1)解:(1B3,0),C0, ).

A—10B3,0),∴可設(shè)過A、B、C三點的拋物線為

又∵C0 )在拋物線上,∴,解得.

∴經(jīng)過A、B、C三點的拋物線解析式為

(2)四邊形AEMC是菱形.

當(dāng)OCE∽△OBC時,則錯誤!未找到引用源。

∵OC=錯誤!未找到引用源。,∴

錯誤!未找到引用源!OE=1.

E(1,0)在拋物線對稱軸上,∴△CAE為等邊三角形,∴∠AEC=A=60°.

又∵∠CEM=60°, ∴∠MEB=AEC=60°.

∴點C與點M關(guān)于拋物線的對稱軸對稱.

C(0,錯誤!未找到引用源。),M(2,錯誤!未找到引用源。).

MC=AE=2, MCAE

∴四邊形AEMC是平行四邊形。

AC=CM=2

∴四邊形AEMC是菱形.

(3)由⊙P與直線AC和x軸同時相切易知點P在兩線夾角的平分線上,

①當(dāng)在x軸上方時,∠PAO=30°,設(shè)點P坐標(biāo)為(x, ),過P作PQ⊥x軸,交點為Q,則AQ=PQ,得x+1= ()

解得,x1=2 ,x2=-1(舍去),所以點P坐標(biāo)為(2,

②當(dāng)在x軸下方時,∠PAO=60°,設(shè)點P坐標(biāo)為(x, ),過P作PQ⊥x軸,交點為Q,則AQ=PQ,得(x+1)= -()

解得,x1=6 ,x2=-1(舍去),所以點P坐標(biāo)為(6,-7

綜上所述,存在點P滿足條件,點P坐標(biāo)為(2, )或(6,-7

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