Question

【題目】已知：如圖，D是△ABC邊BC上一點，且CD＝AB，∠BDA＝∠BAD，AE是△ABD的中線．求證：AC＝2AE．

Answer 1

【答案】見解析.

【解析】

延長AE到F，使EF=AE，連接DF,，可證明△ABE≌△FDE，則∠BAE=∠EFD

，再由外角的性質(zhì)得出∠ADF=∠ADC，則△ADF≌△ADC，則AF=AC，從而得出AC=2AE.

證明：延長AE到F，使EF=AE，連接DF

∵AE是△ABD的中線．

∴BE=ED

在△ABE和△FDE中，

∴△ABE≌△FDE（SAS）

∴AB=DF，∠BAE=∠EFD

∵∠ADB是△ADC的外角

∴∠DAC+∠ACD=∠ADB=∠BAD

∴∠BAE+∠EAD=∠BAD

∠BAE=∠EFD

∴∠EFD+∠EAD=∠DAC+∠ACD

∴∠ADF=∠ADC

∵AB=DC

∴DF=DC

在△ADF和△ADC中，

∴△ADF≌△ADC（SAS）

∴AF=AC

∵AF=AE+EF，AE=ED

∴AC=2AE