Question

如圖（1），直線y=kx-k²（k為常數(shù)，且k＞0）與y軸交于點(diǎn)C，與拋物線y=ax²有唯一公共點(diǎn)B，點(diǎn)B在x軸上的正投影為點(diǎn)E，已知點(diǎn)D（0，4）．
（1）求拋物線的解析式；
（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使經(jīng)過D，O，E三點(diǎn)的圓與拋物線的交點(diǎn)恰好為B？若存在，請(qǐng)求出時(shí)k的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
（3）如圖（2），連接CE，已知點(diǎn)F（0，1），直線FA與CE相交于點(diǎn)M，不論k取何值，在①∠EAM=∠ECA，②∠EAM=∠ACF兩個(gè)等式中有一個(gè)恒成立．請(qǐng)判斷哪一個(gè)恒成立，并證明這個(gè)成立的結(jié)論．

Answer 1

（1）∵直線y=kx-k²與拋物線y=ax²有唯一公共點(diǎn)B，
∴kx-k²=ax²，即ax²-kx+k²=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，
∴（-k）²-4ak²=0，而k＞0，
∴a=

1

4

，
∴y=

1

4

x²；

（2）存在實(shí)數(shù)k，使得經(jīng)過D、O、E三點(diǎn)的圓與拋物線的交點(diǎn)剛好為點(diǎn)B，
∵

y=kx-k2 y= 1 4 x2

的解為

x=2k y=k2

，
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為（2k，k²），
又∵點(diǎn)B在x軸上的正投影為點(diǎn)E，連接BE，
則BE⊥x軸于E，
∴E（2k，0），
∴DE⊥OB，DF=EF=OF，
連接OB、DE，則OB、DE均為過點(diǎn)D、0、E三點(diǎn)的圓的直徑，
∴Rt△ODE≌Rt△EBO（HL），
∴BE=DO，
∵D（0，4），
∴k²=4，
∴k=2（k＞0）；

（3）結(jié)論②∠EAM=∠ACF成立，
對(duì)y=kx-k²，令y=0，得x=k，
∴A（k，0），
∴OA=k，
令x=0，得y=-k²，
∴C（0，-k²），
∴OC=k²，
又∵F（0，1），
∴OF=1，
∴OA²=OF•OC，
∴

OA

OF

=

OC

OA

，
又∵∠FOA=∠AOC=90°，
∴△AFO∽△CAO，
∴∠FAO=∠ACF，而∠FAO=∠EAM，
∴∠EAM=∠ACF．