Question

【題目】A是直線x=1上一個動點，以A為頂點的拋物線y1=a(x﹣1)2+t和拋物線y2=ax2交于點B(A，B不重合，a是常數(shù))，直線AB和拋物線y2=ax2交于點B，C，直線x=1和拋物線y2=ax2交于點D．(如圖僅供參考)

(1)求點B的坐標(biāo)(用含有a，t的式子表示)；

(2)若a＜0，且點A向上移動時，點B也向上移動，求的范圍；

(3)當(dāng)B，C重合時，求的值；

(4)當(dāng)a＞0，且△BCD的面積恰好為3a時，求的值．

Answer 1

【答案】(1) 點B坐標(biāo)為(，)；(2)＞﹣1 ；(3) =﹣3；(4) 的值為﹣5或3

【解析】

（1）把兩拋物解析式聯(lián)立方程組，求得的解（含a、t的式子）即為點B坐標(biāo)．

（2）由于A向上移動時，點B也向上移動，即點B縱坐標(biāo)的值隨點A縱坐標(biāo)的值變大而變大，所以yB＝隨著t的增大而增大，把yB看作關(guān)于t的二次函數(shù)，可知當(dāng)a＜0時開口向下，故在對稱軸左側(cè)即t＜a，yB隨著t的增大而增大，利用不等式性質(zhì)即求得≥1且≠1．

（3）以點A、B坐標(biāo)用待定系數(shù)法求直線AB解析式，在把直線AB和拋物線y2聯(lián)立方程組另一交點C的坐標(biāo)．

（4）把x＝1代入y2＝ax2求得點D坐標(biāo)，發(fā)現(xiàn)點C、D縱坐標(biāo)相等，即CD∥x軸，CD＝2，所以△BCD面積等于CD與點B到CD距離乘積的一半．又點B到CD距離即點B與點C縱坐標(biāo)之差，需分類討論再結(jié)合a＜0計算．

解：(1)∵解得：

∴點B坐標(biāo)為(，)

(2)∵點A(1，t)向上移動，點B(，)也向上移動

∴yB=隨著t的增大而增大

∵yB=可看作是yB關(guān)于t的二次函數(shù)

∴當(dāng)a＜0時，此二次函數(shù)的圖象開口向下，在t=﹣a時取得最大值為0

∴t＜﹣a，yB隨著t的增大而增大

∴＞﹣1

(3)設(shè)直線AB解析式為y=kx+b∴ 解得：

∴直線AB：y=x+

∵ 解得： (即點B)

∴直線AB和拋物線y2=ax2另一交點C(﹣1，a)

∵B，C重合

∴

∴a+t=﹣2a

∴3a=﹣t

∴=﹣3

(4)∵直線x=1和拋物線y2=ax2交于點D

∴D(1，a)

∴CD∥x軸，CD=2

∴S△BCD=CD|yB﹣yC|=|﹣a|=3a

①當(dāng)﹣a＞0時，﹣a=3a

整理得：15a2﹣2at﹣t2=0

∴(5a+t)(3a﹣t)=0

∴t=﹣5a或t=3a

∴=﹣5或=3

②當(dāng)﹣a＜0時，﹣+a=3a

整理得：﹣(a+t)2=8a2

∵a＞0

∴此式子不成立

綜上所述，的值為﹣5或3．