Question

【題目】如圖，AB為半圓的直徑，O為圓心，C為圓弧上一點，AD垂直于過C點的切線，垂足為D，AB的延長線交直線CD于點E．

（1）求證：AC平分∠DAB；

（2）若BE=2，CE=2，CF⊥AB，垂足為點F．

①求⊙O的半徑；②求CF的長．

Answer 1

【答案】(1)見解析；（2）⊙O的半徑為2，CF＝

【解析】

(1)連結OC，根據切線的性質得OC⊥CD，而AD⊥CD，根據平行線的性質得OC∥AD，所以∠2=∠3，加上∠1=∠3，則∠1=∠2，所以AC平分∠DAB；

(2)設半徑為r,在Rt△OCE中，OC=r,OE=r+2,CE=2,根據勾股定理可求出r；利用Rt△OCE面積計算OC×CE=OE×CF，可求出CF.

（1）證明：連結OC，如圖，

∵直線CE與⊙O相切于點C，∴OC⊥CD，

∵AD⊥CD， ∴OC∥AD， ∴∠1=∠3，

∵OA=OC， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠2，

∴AC平分∠DAB；

（2）解：①設⊙O的半徑為r，則OC=r，OE=2+r，

在Rt△OCE中，由勾股定理得：，

r=2，

則⊙O的半徑為2；

②∵OC⊥CE，CF⊥AB，

∴OC×CE=OE×CF，∴2×=4×CF

∴CF=.