Question

【題目】同學(xué)們都知道，|2-（-1）|表示2與-1的差的絕對值，實(shí)際上位可理解為在數(shù)軸上正數(shù)2對應(yīng)的點(diǎn)與負(fù)數(shù)一1對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離，試探索：

(1)|2-（-1）|=______；如果|x-1|=2，則x=______．

(2)求|x-2|+|x-4|的最小值，并求此時(shí)x的取值范圍；

(3)由以上探素已知（|x-2|+|x+4|）（|y-1|+|y-6|）=10，求x+y的最大值與最小值；

(4)由以上探索及猜想，計(jì)算|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2017|+|x-2018|的最小值．

Answer 1

【答案】(1)3，3或-1；(2)當(dāng)-4≤x≤2時(shí)，|x-2|+|x+4|的值有最小值，最小值為6；(3)x+y的最大值是5，最小值是-3；(4)當(dāng)x=1009.5時(shí)，式子取得最小值，為509076．

【解析】

（1）根據(jù)絕對值的意義直接計(jì)算即可；
（2）把|x-2|+|x+4|理解為：在數(shù)軸上表示x到-4和2的距離之和，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)在線段上，可得最小值，從而得結(jié)論；
（3）先確定x、y的取值范圍，再分類討論．
（4）觀察已知條件可以發(fā)現(xiàn)，|x-a|表示x到a的距離．要是題中式子取得最小值，則應(yīng)該找出與最小數(shù)和最大數(shù)距離相等的x的值，此時(shí)式子得出的值則為最小值．

(1)|2-（-1）|=|2+1|=3，

|x-1|=2，

x-1=2或x-1=-2，

x=3或-1，

故答案為：3，3或-1；

(2)∵|x-2|+|x-4|理解為：在數(shù)軸上表示x到-4與2的距離之和，

∴當(dāng)x在-4與2之間的線段上（即-4≤x≤2）時(shí)，|x-2|+|x+4|的值有最小值，最小值為2-（-4）=6，此時(shí)x的取值范圍為：-4≤x≤2．

(3)因?yàn)?/span>x-2=0，x+4=0時(shí)，x=2或-4，y-1=0，y-6=0時(shí)，y=1或6．

當(dāng)x＜-4時(shí)，|x-2|+|x+4|=2-x-x-4=-2x-2；當(dāng)-4＜x＜2時(shí)，|x-2|+|x+4|=2-x+x+4=6；當(dāng)x＞2時(shí)，|x-2|+|x+4|=x-2+x+4=2x+2；

當(dāng)y＜1時(shí)，|y-1|+|y-6|=1-y+6-y=-2y+7；當(dāng)1＜y＜6時(shí)，|y-1|+|y-6|=y-1+6-y=5；當(dāng)y＞6時(shí)，|y-1|+|y-6|=y-1+y-6=2y-7；

當(dāng)x＜-4，y＜1時(shí)，（-2x-2）（-2y+7）=10，

所以-2x+1-2y+1=8，即x+y=-3；-2x+1+3=8，即x=-4；-2x+1+2y-1=8，即x-y=-4；5-2y+1=8，即y=-1；5+3=8；5+2y-1=8，即y=2；2x-1-2y+1=8，即x-y=4；2x-1+3=8，即x=3；2x-1+2y-1=8，即x+y=5．

所以x+y的最大值是5，最小值是-3．

(4)由已知條件可知，|x-a|表示x到a的距離，只有當(dāng)x到1的距離等于x到2018的距離時(shí)，式子取得最小值．

∴當(dāng)x==1009.5時(shí)，式子取得最小值，

此時(shí)，|x-1|+|x-2|+|x-3|+…+|x-2017|+|x-2018|，

=|1009.5-1|+|1009.5-2|+|1009.5-3|+…+|1009.5-2016|+|1009.5-2017|+|1009.5-2018|，

=1008.5+1007.5+…+2.5+1.5，

=0.5×1008+（1+2+3…+1008），

=504+=504+508536，

=509076．