【題目】已知:中,,,點(diǎn)內(nèi)一點(diǎn),連接,,,過點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn).

1)如圖1,求證:;

2)如圖2,點(diǎn)的中點(diǎn),分別連接,求的度數(shù);

3)如圖3,在(2)的條件下,點(diǎn)上一點(diǎn),連接,點(diǎn)的中點(diǎn),連接,過點(diǎn),交的延長(zhǎng)線于點(diǎn),若,的面積為30,,求線段的長(zhǎng).

【答案】(1)見解析;245°;(3)10

【解析】

1)根據(jù)全等三角形的判定得出CAE≌△ABD,進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)得出AE=BD;
2)根據(jù)全等三角形的判定得出AEH≌△BDH,進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)解答;
3)過點(diǎn)MMSFH于點(diǎn)S,過點(diǎn)EERFH,交HF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,過點(diǎn)EETBC,根據(jù)全等三角形判定和性質(zhì)解答即可.

證明:(1)∵CEAE,BDAE,
∴∠AEC=ADB=90°,
∵∠BAC=90°
∴∠ACE+CAE=CAE+BAD=90°,
∴∠ACE=BAD,
CAEABD

∴△CAE≌△ABDAAS),
AE=BD

2)連接AH,如圖2

AB=ACBH=CH,,
∴∠BAH=BAC×90°45°,∠AHB=90°
∴∠ABH=BAH=45°
AH=BH,
∵∠EAH=BAH-BAD=45°-BAD
DBH=180°-ADB-BAD-ABH=45°-BAD,
∴∠EAH=DBH,
AEHBDH
∴△AEH≌△BDHSAS),
EH=DH,∠AHE=BHD,
∴∠AHE+EHB=BHD+EHB=90°
即∠EHD=90°,
∴∠EDH=DEH=45°
3)過點(diǎn)MMSFH于點(diǎn)S,過點(diǎn)EERFH,交HF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)R,過點(diǎn)EETBC,交HR的延長(zhǎng)線于點(diǎn)T.如圖3

DGFH,ERFH,
∴∠DGH=ERH=90°
∴∠HDG+DHG=90°
∵∠DHE=90°,
∴∠EHR+DHG=90°,
∴∠HDG=HER
DHGHER

∴△DHG≌△HERAAS),
HG=ER,
ETBC,
∴∠ETF=BHG,∠EHB=HET
∴∠ETF=FHM,
∵∠EHB=BHG,
∴∠HET=ETF,
HE=HT,
EFTMFH


∴△EFT≌△MFHAAS),
HF=FT

ER=MS,
HG=ER=MS,
設(shè)GH=6k,FH=5k,則HG=ER=MS=6k,

==30
k=
FH=5,
HE=HT=2HF=10,

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(1)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)B重合時(shí),點(diǎn)F恰好與點(diǎn)C重合(如圖②),求PC的長(zhǎng);
(2)探究:將直尺從圖②中的位置開始,繞點(diǎn)P順時(shí)針旋轉(zhuǎn),當(dāng)點(diǎn)E和點(diǎn)A重合時(shí)停止.在這個(gè)過程中,請(qǐng)你觀察、猜想,并解答:
①tan∠PEF的值是否發(fā)生變化?請(qǐng)說明理由;
②直接寫出從開始到停止,線段EF的中點(diǎn)經(jīng)過的路線長(zhǎng).

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A. 0,1B. 0C. 0,0D. 0

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