【題目】如圖,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD⊥BC于D,點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s,設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s).

(1)求x為何值時(shí),PQ⊥AC;

(2)設(shè)△PQD的面積為y(cm2),當(dāng)0<x<2時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)0<x<2時(shí),求證:AD平分△PQD的面積;

(4)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系,請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫(xiě)出過(guò)程).

【答案】(1)x=;(2)y=﹣x2+x;(3)證明見(jiàn)解析;(4)當(dāng)0≤x<<x<<x≤4時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相交.

【解析】

(1)若使PQAC,則根據(jù)路程=速度×時(shí)間表示出CPCQ的長(zhǎng),再根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)列方程求解;

(2)首先畫(huà)出符合題意的圖形,再根據(jù)路程=速度×時(shí)間表示出BP,CQ的長(zhǎng),根據(jù)等邊三角形的三線合一求得PD的長(zhǎng),根據(jù)30度的直角三角形的性質(zhì)求得PD邊上的高,再根據(jù)面積公式進(jìn)行求解;

(3)根據(jù)三角形的面積公式,要證明AD平分PQD的面積,只需證明OPQ的中點(diǎn).根據(jù)題意可以證明BP=CN,則PD=DN,再根據(jù)平行線等分線段定理即可證明;

(4)根據(jù)(1)中求得的值即可分情況進(jìn)行討論.

1)當(dāng)QAB上時(shí),顯然PQ不垂直于AC,

當(dāng)QAC上時(shí),由題意得,BP=x,CQ=2x,PC=4﹣x;

AB=BC=CA=4,

∴∠C=60°;

PQAC,則有∠QPC=30°,

PC=2CQ,

4﹣x=2×2x,

x=;

(2)y=﹣x2+x,

如圖所示,

當(dāng)0<x<2時(shí),PBD上,QAC上,過(guò)點(diǎn)QQNBCN;

∵∠C=60°,QC=2x,

QN=QC×sin60°=x

AB=AC,ADBC,

BD=CD=BC=2,

DP=2﹣x

y=PDQN=(2﹣xx=﹣x2+x;

(3)當(dāng)0<x<2時(shí),

RtQNC中,QC=2x,C=60°;

NC=x,

BP=NC,

BD=CD,

DP=DN;

ADBCQNBC,

ADQN

OP=OQ,

SPDO=SDQO

AD平分PQD的面積;

(4)顯然,不存在x的值,使得以PQ為直徑的圓與AC相離,

由(1)可知,當(dāng)x=時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相切;

當(dāng)點(diǎn)QAB上時(shí),

8﹣2x=,

解得x=

故當(dāng)x=時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相切,

當(dāng)0≤xxx≤4時(shí),以PQ為直徑的圓與AC相交.

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解:由,解得,又因?yàn)?/span>x>1,y<0,所以,解得________

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