【題目】如圖,拋物線y=(xm2m與直線yx相交于E,C兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)C的左邊),拋物線與x軸交

A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊).ABC的外接圓⊙H與直線y=-x相交于點(diǎn)D

若拋物線與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),求m的值;

求證:⊙H與直線y=1相切;

DE=2EC,求⊙H的半徑.

【答案】(1)-2;(2)見解析;(3)3.

【解析】

(1)由拋物線y=(x+m)2+my軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),可得m2+m=2,又由拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),即可得(x+m)2+m=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,繼而求得答案;
(2)首先作直徑CM交弦AB于點(diǎn)G,連接HB,由拋物線y=(x+m)2+m,與直線y=-x相交于E,C兩點(diǎn)(點(diǎn)E在點(diǎn)C的左邊),可得(x+m)2+m=-x,繼而可證得點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn),由拋物線與圓的對(duì)稱性得:CM垂直平分AB,可證得CM⊥直線y=1,然后設(shè)A,B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,則x1,x2是(x+m)2+m=x2+2mx+m2+m=0的兩根,可得x1+x2=-2m,x1x2=m2+m,再設(shè)⊙H的半徑為r,CG=-m,HG=-m-r,易證得點(diǎn)H到直線y=1的距離為:-m-r+1=2r-r=r,即可得⊙H與直線y=1相切;
(3)首先連接MD,由⊙H與直線y=1相切于點(diǎn)M,可得CMN是等腰直角三角形,CM為直徑,易得DN=DC,則可求得EC的長,繼而求得答案.

∵拋物線y=(xm2my軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),

∴當(dāng)x=0時(shí),ym2m=2,解之,得,m1=-2,m2=1.

∵拋物線y=(xm2mx軸有兩個(gè)交點(diǎn),

∴方程x2+2mxm2m=0有不等的實(shí)數(shù)根,(2m2-4(m2m)>0,

m<0,m=-2.

證明:作直徑CM交弦AB于點(diǎn)G,連接HB

由拋物線y=(xm2m與直線y=-x相交于點(diǎn)EC兩點(diǎn),

可得(xm2m=-x,

xm2mx=0,(xm)(xm+1)=0.

x1=-m,x2=-m-1.

因?yàn)辄c(diǎn)E在點(diǎn)C的左邊,

所以EC兩點(diǎn)的坐標(biāo)為E(-m-1,m+1),C(-m,m).

故點(diǎn)C是拋物線的頂點(diǎn).由拋物線和圓的對(duì)稱性知,CM垂直平分AB

CM⊥直線y=1,

設(shè)A、B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1,x2,則x1x2是方程x2+2mxm2m=0的兩根.

x1x2=-2m,x1x2m2m

ABx2x1=2

設(shè)⊙H的半徑為r,CG=-m,HGm-r.在RtHGB中,HG=-m-r,HBr,GB

(-mr2+(2r2r

因?yàn)?/span>HG=-m-r,

所以點(diǎn)H到直線y=1的距離為-m-r+1=2r-rr,

所以,⊙H與直線y=1相切.

連接MD,H與直線y=1相切于點(diǎn)M,所以CMN為等腰直角三角形,

CM為直徑,

∴∠CDM=90°,

DNDC.由E(-m-1,m+1),C(-m,m)可得,EC

又∵DE=2EC

CD=3CE=3,

CN=2CD=6,

CM=2r =6,

r =3.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】某愛心企業(yè)在政府的支持下投入資金,準(zhǔn)備修建一批室外簡易的足球場和籃球場,供市民免費(fèi)使用,修建1個(gè)足球場和1個(gè)籃球場共需8.5萬元,修建2個(gè)足球場和4個(gè)籃球場共需27萬元.

(1)求修建一個(gè)足球場和一個(gè)籃球場各需多少萬元?

(2)該企業(yè)預(yù)計(jì)修建這樣的足球場和籃球場共20個(gè),投入資金不超過90萬元,求至少可以修建多少個(gè)足球場?

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【題目】如圖1,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,AC為⊙O的直徑,ACBD交于點(diǎn)E,且AE=AB.

(1)DA=DB,求證:AB=CB;

(2)如圖2,ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30°得到FGC,點(diǎn)A經(jīng)過的路徑為,若AC=4,求圖中陰影部分面積S;

(3)在(2)的條件下,連接FB,求證:FB為⊙O的切線.

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,點(diǎn)C在以AB為半徑的半圓上,AB=8,CBA=30°,點(diǎn)D在線段AB上運(yùn)動(dòng),點(diǎn)E與點(diǎn)D

關(guān)AC對(duì)稱,DFDE于點(diǎn)D,并交EC的延長線與點(diǎn)F.下列結(jié)論:①CECF;②線段EF的最小值為2

③當(dāng)AD=2時(shí),EF與半圓相切;④當(dāng)點(diǎn)D從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí),線段EF掃過的面積是16.其中正

確的結(jié)論()

A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在ABC中,AB=AC,點(diǎn)E在線段AC上,DAB的延長線上,連接DEBCF,過EEGBCG

1)下列兩個(gè)關(guān)系式:①DB=EC,DF=EF,請(qǐng)你選擇一個(gè)做為條件,另一個(gè)做為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)正確的命題,并給予證明.

你選擇的條件是  ,結(jié)論是  .(只需填序號(hào))

2)在(1)的條件下,求證:FG=BC/2

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】拋物線經(jīng)過A,BC三點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式。

(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值.

(3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是直線上的動(dòng)點(diǎn),判斷有幾個(gè)位置能夠使得點(diǎn)P、Q、BO為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形,直接寫出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,對(duì)稱軸為直線x1的拋物線經(jīng)過A(﹣10)、C0,3)兩點(diǎn),與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為B,點(diǎn)Dy軸上,且OB3OD

1)求該拋物線的表達(dá)式;

2)設(shè)該拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t

①當(dāng)0t3時(shí),求四邊形CDBP的面積St的函數(shù)關(guān)系式,并求出S的最大值;

②點(diǎn)Q在直線BC上,若以CD為邊,點(diǎn)C、D、Q、P為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】已知四邊形ABCD的一組對(duì)邊ADBC的延長線交于點(diǎn)E.

(1)如圖①,若∠ABC=∠ADC90°,求證:ED·EAEC·EB

(2)如圖②,若∠ABC120°,cosADC,CD5,AB12,△CDE的面積為6,求四邊形ABCD的面積;

(3)如圖③,另一組對(duì)邊ABDC的延長線相交于點(diǎn)F.cosABCcosADC,CD5,CFEDn,直接寫出AD的長(用含n的式子表示)

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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

【題目】如圖,在△ABC中,已知AB=BC=CA=4cm,AD⊥BC于D,點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā),其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng),速度為1cm/s;點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng),速度為2cm/s,設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s).

(1)求x為何值時(shí),PQ⊥AC;

(2)設(shè)△PQD的面積為y(cm2),當(dāng)0<x<2時(shí),求y與x的函數(shù)關(guān)系式;

(3)當(dāng)0<x<2時(shí),求證:AD平分△PQD的面積;

(4)探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系,請(qǐng)寫出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫出過程).

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