【題目】在直線上順次取A,B,C三點,分別以AB,BC為邊長在直線的同側(cè)作正三角形,作得兩個正三角形的另一頂點分別為D,E.
(1)如圖①,連結(jié)CD,AE,求證:CD=AE;
(2)如圖②,若AB=1,BC=2,求DE的長;
(3)如圖③,將圖②中的正三角形BEC繞B點作適當?shù)男D(zhuǎn),連結(jié)AE,若有DE2+BE2=AE2 , 試求∠DEB的度數(shù).

【答案】
(1)證明:如圖①中,∵△ABD和△ECB都是等邊三角形,

∴AD=AB=BD,BC=BE=EC,∠ABD=∠EBC=60°,

∴∠ABE=∠DBC,

在△ABE和△DBC中,

,

∴△ABE≌△DBC,

∴AE=DC.


(2)解:如圖②中,取BE中點F,連接DF.

∵BD=AB=1,BE=BC=2,∠ABD=∠EBC=60°,

∴BF=EF=1=BD,∠DBF=60°,

∴△DBF是等邊三角形,

∴DF=BF=EF,∠DFB=60°,

∵∠BFD=∠FED+∠FDE,

∴∠FDE=∠FED=30°

∴∠EDB=180°﹣DEB∠DBE﹣∠DEB=90°,

∴DE= = =


(3)解:如圖③中,連接DC,

∵△ABD和△ECB都是等邊三角形,

∴AD=AB=BD,BC=BE=EC,∠ABD=∠EBC=60°,

∴∠ABE=∠DBC,

在△ABE和△DBC中,

,

∴△ABE≌△DBC,

∴AE=DC.

∵DE2+BE2=AE2,BE=CE,

∴DE2+CE2=CD2,

∴∠DEC=90°,

∵∠BEC=60°,

∴∠DEB=∠DEC﹣∠BEC=30°.


【解析】(1)欲證明CD=AE,只要證明△ABE≌△DBC即可.(2)如圖②中,取BE中點F,連接DF,首先證明△BDE是直角三角形,再利用勾股定理即可.(3)如圖③中,連接DC,先利用勾股定理的逆定理證明△DEC是直角三角形,得∠DEC=90°即可解決問題.

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