Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于點(diǎn)H，點(diǎn)D為AH上的一點(diǎn)，且DH=HC，連結(jié)BD并延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，連結(jié)EH．

（1）請(qǐng)補(bǔ)全圖形；

（2）直接寫(xiě)出BD與AC的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

（3）求證：∠BEH=45°．

Answer 1

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）BD=AC，BD⊥AC；（3）證明見(jiàn)解析.

【解析】

（1）根據(jù)題意直接補(bǔ)全圖形；

（2）先判斷出△ABH為等腰直角三角形，進(jìn)而得出△AHC≌△BHD，最后用對(duì)頂角和等量代換即可得出∠ADE+∠DAE=90°，結(jié)論得證；

（3）先利用同角或等角的余角相等得出結(jié)論即可判斷出△AHE≌△BHF，即可得出EH=FH，結(jié)論得證．

（1）補(bǔ)全圖形如圖1所示；

（2）BD=AC ；BD⊥AC；

（3）∵AH⊥BC于點(diǎn)H，∠ABC＝45°，

∴△ABH為等腰直角三角形，

∴AH＝BH，∠BAH＝45°，

在△AHC和△BHD中

，

∴△AHC≌△BHD，

∴∠1=∠2，

如圖2，過(guò)點(diǎn)H作HF⊥HE交BE于點(diǎn)F，

∴∠FHE=90°

即∠4+∠5=90°

又∵∠3+∠5=∠AHB=90°

∴∠3=∠4

在△AHE和△BHF中，

∴△AHE≌△BHF

∴EH=FH

∵∠FHE=90°

∴△FHE是等腰直角三角形

∴∠BEH=45°