Question

【題目】如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+4的圖象與x軸交于點(diǎn)A(4，0)和點(diǎn)D(﹣1，0)，與y軸交于點(diǎn)C，過點(diǎn)C作BC平行于x軸交拋物線于點(diǎn)B，連接AC

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)M從點(diǎn)O出發(fā)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)；點(diǎn)N從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停動(dòng)，過點(diǎn)N作NQ垂直于BC交AC于點(diǎn)Q，連結(jié)MQ.

①求△AQM的面積S與運(yùn)動(dòng)時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式，寫出自變量的取值范圍；當(dāng)t為何值時(shí)，S有最大值，并求出S的最大值；

②是否存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形？若存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】(1)y＝﹣x2+3x+4；(2)①S=-t2+t+2；0≤t≤2；t＝時(shí)，S最大值＝；②存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(1，0)和(2，0)．

【解析】

(1)由待定系數(shù)法將AD兩點(diǎn)代入即可求解．

(2)①分別用t表示出AM、PQ，由三角形面積公式直接寫出含有t的二次函數(shù)關(guān)系式，由二次函數(shù)的最大值可得答案；

②分類討論直角三角形的直角頂點(diǎn)，然后解出t，求得M坐標(biāo)．

(1)∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過A(4，0)和點(diǎn)D(﹣1，0)，

∴，

解得，

所以，二次函數(shù)的解析式為y＝﹣x2+3x+4．

(2)①延長(zhǎng)NQ交x軸于點(diǎn)P，

∵BC平行于x軸，C(0，4)

∴B(3，4)，NP⊥OA．

根據(jù)題意，經(jīng)過t秒時(shí)，NB＝t，OM＝2t，

則CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t．

∵∠BCA＝∠MAQ＝45°，

∴QN＝CN＝3﹣t，

∴PQ＝NP﹣NQ＝4﹣(1﹣t)＝1+t，

∴S△AMQ=AM×PQ=(4-2t)(1+t)

＝﹣t2+t+2．

∴S=-t2+t+2=-(t-)2+．

∵a＝﹣1＜0，且0≤t≤2，∴S有最大值．

當(dāng)t＝時(shí)，S最大值＝．

②存在點(diǎn)M，使得△AQM為直角三角形．

設(shè)經(jīng)過t秒時(shí)，NB＝t，OM＝2t，

則CN＝3﹣t，AM＝4﹣2t，

∴∵∠BCA＝∠MAQ＝45°．

Ⅰ．若∠AQM＝90°，

則PQ是等腰Rt△MQA底邊MA上的高．

∴PQ是底邊MA的中線，

∴PQ＝AP＝MA，

∴1+t＝(4﹣2t)，

解得，t＝，

∴M的坐標(biāo)為(1，0)．

Ⅱ．若∠QMA＝90°，此時(shí)QM與QP重合．

∴QM＝QP＝MA，

∴1+t＝4﹣2t，

∴t＝1，

∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，0)．

所以，使得△AQM為直角三角形的點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為(1，0)和(2，0)．