Question

【題目】點(diǎn)A（m，n）為直線y=-x+4上一動點(diǎn)，且滿足-4<m<4，將O點(diǎn)繞點(diǎn)B 逆時針旋轉(zhuǎn)90°得點(diǎn)C，連接AC，則線段AC長度的取值范圍是____________.

Answer 1

【答案】2≤AC＜10．

【解析】

首先證明點(diǎn)A在運(yùn)動過程中，△ABC的形狀相同，推出AB的值最大時，AC的值最大，AB的值最小時，AC的值最小，結(jié)合圖形分別求出AB的最大值，最小值即可解決問題.

如圖1中，

∵A（m，n），

∴點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)A′（-m，-n），

∴OA′的中點(diǎn)B（-，-）；

∴OA=2OB=2BC，

∴tan∠CAB=，

∴點(diǎn)A在運(yùn)動過程中，△ABC的形狀相同，

∴AB的值最大時，AC的值最大，AB的值最小時，AC的值最小，

當(dāng)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（-4，8）時，AB的值最大，

此時B（2，-4），

∴AB=，

∴BC=AB=2，

∴AC=．

如圖2中，當(dāng)直線AB⊥直線y=-x+4時，AB的值最小，此時直線AB的解析式為y=x，

由，

解得，

∴A（2，2），B（-1，-1），

∴AB=，

∴BC=AB=，

∴AC=，

綜上所述，線段AC長度的取值范圍是2≤AC＜10，

故答案為2≤AC＜10．