【題目】(本題滿分12分)已知,直線AP是過正方形ABCD頂點(diǎn)A的任一條直線(不過B、CD三點(diǎn)),點(diǎn)B關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)為E,連結(jié)AEBE、DE,直線DE交直線AP于點(diǎn)F

1)如圖1,直線AP與邊BC相交.

∠PAB=20°,則∠ADF= °,∠BEF= °;

請(qǐng)用等式表示線段AB、DF、EF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由;

2)如圖2,直線AP在正方形ABCD的外部,且,,求線段AF的長.

【答案】(1①65,45;(22

【解析】試題分析:(1利用軸對(duì)稱的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)得出即可;連接BD,BF先依據(jù)翻折的性質(zhì)證明△BEF為等腰直角三角形,從而得到△BFD為直角三角形,由勾股定理可得到BF、FDBD之間的關(guān)系,然后由△ABD為等腰直角三角形,從而得打BDAB之間的關(guān)系,故此可得到BF、FD、AB之間的關(guān)系

2)連接BF、DB.先依據(jù)翻折的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)證明∠BFD=90°,然后在△BDF中,由勾股定理可求得BD的長,從而求得AB的長,然后在等腰直角三角形EFB中可求得FG=GB=8,然后再Rt△AGB中,由勾股定理可求得AG的長,由AF=FG-AG可求得AG的長.

試題解析:(1翻折的性質(zhì)可知:∠PAB=∠PAE=20°,AE=AB

∴∠AEB=ABE=×180°-40°=70°

∵ABCD為正方形,

∴AB=AD∠BAD=90°

∴AE=AD,∠DAE=50°

∴∠ADE=AED=×180°-50°=65°

∴∠BEF=180°-70°-65°=45°

線段ABDF、EF之間的數(shù)量關(guān)系是:BF2+DF2=2AB2

理由:連接BD,BF

由翻折的性質(zhì)可知:BF=FE,

∴∠FBE=∠FEB=45°

∴∠BFE=90°

∴BF2+DF2=DB2

BD=AB,

∴BD2=2AB2

∴BF2+DF2=2AB2

2)如圖2所示:連接BF、DB

由翻折的性質(zhì)可知:AB=AE,1=2,EF=BF=8,EG=GB

∵AD=AB,

∴AE=AD

∴∠1=∠3

∴∠2=∠3

∵∠4=∠5,

∴∠5+∠3=∠2+∠4=90°

∴△FDB△EFB均為直角三角形,

BD=

AB=BD=10×=10

Rt△EFB中,EF=BF,

EB=EF=×8=16

∴GF=EG=BG=8

RtABG中,AG==6

∴AF=FG-AG=8-6=2

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(1)求的值;

(2)過軸上的點(diǎn)D,0)作平行于y軸的直線),分別與直線AB和雙曲線交于點(diǎn)P、Q,且PQ=2QD,求APQ的面積.

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