【題目】如圖,對稱軸為直線的拋物線經(jīng)過點

(1)求拋物線解析式;

(2)設(shè)點是拋物線上一動點,且位于第四象限,四邊形是以為對角線的平行四邊形.

①求平行四邊形的面積之間的函數(shù)關(guān)系式,并寫出自變量的取值范圍;

②當平行四邊形的面積為24時,請判斷平行四邊形是否為菱形?

③是否存在點,使平行四邊形為正方形?若存在,求出點的坐標;若不存在,請說明理由.

【答案】1;(2)①,,②當點E為(4,-4)時,平行四邊形OEAF不是菱形;當點E為(3,-4)時,平行四邊形OEAF是菱形.③不存在這樣的點,使平行四邊形是正方形,理由見解析.

【解析】

1)將拋物線解析式設(shè)成頂點式,然后用待定系數(shù)法就可解決問題.

2)①求出拋物線與x軸的交點坐標,就可得到x的取值范圍,由于△OAE與△AOF全等,因此S=2SOAE=-6y,然后把y換成x的代數(shù)式即可.

②易求出點E的縱坐標y,從而求出點E的坐標,然后算出OE、AE的長,就可判定四邊形OEAF是否為菱形;

③可先求出使四邊形OEAF是菱形時點E的坐標,然后再驗證菱形OEAF是否是正方形.

解:(1)由拋物線的對稱軸是,可設(shè)解析式為

、兩點坐標代入上式,得

解得:

∴拋物線的解析式為:

2)①∵點在拋物線上,位于第四象限,

,即表示點的距離.

的對角線,

,

;

∵拋物線與軸的兩個交點是

∴自變量的取值范圍是;

,().

②依題意,當時,即,

解得;

Ⅰ.當x=4時,,則點E4,-4).

過點EEHx軸,垂足為H,如圖2

則有OH=4,EH=4AH=2

EHx軸,

OE=,AE=

OEAE

∴平行四邊形OEAF不是菱形.

Ⅱ.當x=3時,,則點E3,-4).

過點EEHx軸,垂足為H,如圖3

則有OH=3,EH=4,AH=3

EHx軸,

OE=5AE=5

OE=AE

∴平行四邊形OEAF是菱形.

綜上所述;當點E為(4-4)時,平行四邊形OEAF不是菱形;當點E為(3,-4)時,平行四邊形OEAF是菱形.

③不存在點E,使四邊形OEAF為正方形.

理由如下:

當點E在線段OA的垂直平分線上時,EO=EA,則平行四邊形OEAF是菱形,如圖4,
此時,,,,點E為(3,-4).

則有OA=6EF=8

OAEF,

∴菱形OEAF不是正方形.

∴不存在點E,使四邊形OEAF為正方形.

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頻率分布表

閱讀時間(小時)

頻數(shù)(人)

頻率

1x2

9

0.15

2x3

a

m

3x4

18

0.3

4x5

12

n

5x6

6

0.1

合計

b

1

1)填空:a   ,b   ,m   ,n   ;

2)將頻數(shù)分布直方圖補充完整;

3)閱讀時間不低于5小時的6人中,有2名男生、4名女生.現(xiàn)從這6名學(xué)生中選取兩名同學(xué)進行讀書宣講,求選取的兩名學(xué)生恰好是兩名女生的概率.

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