【題目】如圖,已知拋物線y=ax2+bx+c(a0)經(jīng)過A(1,0),B(4,0),C(0,2)三點(diǎn)

(1)求這條拋物線的解析式;

(2)E為拋物線上一動(dòng)點(diǎn),是否存在點(diǎn)E使以A、B、E為頂點(diǎn)的三角形與COB相似?若存在,試求出點(diǎn)E的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由;

【答案】(1)、y=-+x+2;(2)、E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(3,2).

【解析】

試題分析:(1)、首先設(shè)出函數(shù)的解析式,然后利用待定系數(shù)法進(jìn)行求解;(2)、首先根據(jù)題意判定ABE只能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形,然后求出BC的長度,根據(jù)三角形相似求出點(diǎn)E的坐標(biāo).

試題解析:(1)、拋物線經(jīng)過點(diǎn)C(0,2) 設(shè)該拋物線的解析式為y=a+bx+2

將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式得: 解得:

拋物線的解析式為:y=-+x+2

(2)、存在

由圖象可知,以A、B為直角頂點(diǎn)的ABE不存在,所以ABE只可能是以點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)的三角形.

在RtBOC中,OC=2,OB=4, BC==

在RtBOC中,設(shè)BC邊上的高為h,則×h=×2×4, h=

∵△BEA∽△COB,設(shè)E點(diǎn)坐標(biāo)為(x,y), =,y=±2

將y=2代入拋物線y=-+x+2,得=0,=3.

當(dāng)y=2時(shí),不合題意舍去.

E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,2),(3,2).

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