Question

【題目】如圖，在矩形中，，為邊的中點(diǎn)．將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，點(diǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接、交于點(diǎn).現(xiàn)有下列結(jié)論：①；②；③；④點(diǎn)為的外心.

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（ ）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)

Answer 1

【答案】B.

【解析】

試題分析：根據(jù)全等三角形的性質(zhì)以及線段垂直平分線的性質(zhì)，即可得出AM=MC+AD；根據(jù)當(dāng)AB=BC時(shí)，四邊形ABCD為正方形進(jìn)行判斷，即可得出當(dāng)AB＜BC時(shí)，AM=DE+BM不成立；根據(jù)ME⊥FF，EC⊥MF，運(yùn)用射影定理即可得出EC2=CM×CF，據(jù)此可得DE2=ADCM成立；根據(jù)N不是AM的中點(diǎn)，可得點(diǎn)N不是△ABM的外心．

∵E為CD邊的中點(diǎn)，∴DE=CE，

又∵∠D=∠ECF=90°，∠AED=∠FEC，∴△ADE≌△FCE，∴AD=CF，AE=FE，

又∵ME⊥AF，∴ME垂直平分AF，∴AM=MF=MC+CF，

∴AM=MC+AD，故①正確；

當(dāng)AB=BC時(shí)，即四邊形ABCD為正方形時(shí)，

設(shè)DE=EC=1，BM=a，則AB=2，BF=4，AM=FM=4﹣a，

在Rt△ABM中，22+a2=（4﹣a）2，解得a=1.5，即BM=1.5，

∴由勾股定理可得AM=2.5，∴DE+BM=2.5=AM，

又∵AB＜BC，∴AM=DE+BM不成立，故②錯(cuò)誤；

∵ME⊥FF，EC⊥MF，∴EC2=CM×CF，

又∵EC=DE，AD=CF，∴DE2=ADCM，故③正確；

∵∠ABM=90°，∴AM是△ABM的外接圓的直徑，

∵BM＜AD，∴當(dāng)BM∥AD時(shí)，＜1，

∴N不是AM的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N不是△ABM的外心，故④錯(cuò)誤．

綜上所述，正確的結(jié)論有2個(gè)，

故選B．