Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝x2+x﹣4與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C，作直線AC．

（1）如圖1，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的一點(diǎn)，連結(jié)PA，PC．過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AC于點(diǎn)D，交y軸于點(diǎn)M，E是射線PD上的一點(diǎn)，Q是x軸上的一點(diǎn)，F是y軸上的一點(diǎn)，過(guò)F作該拋物線對(duì)稱軸的垂線段，垂足為點(diǎn)G，連結(jié)EF，GQ．當(dāng)△PAC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求EF+GQ+（FG+QA）的最小值；

（2）如圖2，在（1）的條件下，將△CDM繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)得到△C'DM'，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)C'或點(diǎn)M′落在y軸上（不與點(diǎn)M、C重合）時(shí)，將△C'DM'沿射線PD平移得到△C″D'M″，在平移過(guò)程中，平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得四邊形OM″NC″是菱形？若存在，請(qǐng)直接寫出所有符合條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

【答案】（1）P(﹣2，)，最小值為6；（2）存在，(3，-3)或(5，-5)

【解析】

（1）待定系數(shù)法求得直線AC的解析式為，運(yùn)用二次函數(shù)最值求△PAC面積最大時(shí)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)P的坐標(biāo)P(﹣2，)，作FQ′∥GQ交x軸于點(diǎn)Q′，在x軸上方以AQ′為斜邊作Rt△AQ′T，使∠ATQ′＝90°，∠Q′AT＝30°，得到TQ′＝AQ′，從而有：EF+GQ+（FG+QA）＝EF+FQ′+TQ′，當(dāng)T、Q′、F、E四點(diǎn)共線時(shí)，EF+GQ+（FG+QA）的值最�。灰浊蟮米钚≈禐�6；

（2）分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)C′落在y軸上時(shí)，可求得N1(3，﹣3)；②當(dāng)點(diǎn)M′落在y軸上時(shí)，可求得N2(5，﹣5)．

解：（1）在拋物線y＝x2+x﹣4中，令x＝0，得y＝，

∴

令y＝0，得，解得x1＝﹣4，x2＝3，

∴A（﹣4，0），B（3，0）；

設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，將A（﹣4，0），C（0，）分別代入得，解得，

∴直線AC的解析式為，

如圖1，過(guò)點(diǎn)P作PH⊥x軸交直線AC于H，

設(shè)點(diǎn)P(m，)，H(m，)

∴＝，

∴＝＝，

∵，

∴當(dāng)m＝﹣2時(shí)，S△PAC的最大值＝，此時(shí)P(﹣2，)，

∵PD⊥AC，

∴∠CDM＝∠COA＝90°，

∴tan∠ACO＝＝，

∴∠ACO＝30°，∠CMD＝∠CAO＝∠OME＝60°，

過(guò)點(diǎn)P作PL⊥y軸于L，∠PLM＝90°，∠MPL＝90°﹣∠CMD＝90°﹣60°＝30°，L(0，)，

∴，即：ML＝PLtan∠MPL＝2×tan30°＝，

∴，CM＝，CD＝CMsin∠CMD＝sin60°＝2

易得拋物線對(duì)稱軸為x＝，

在OQ上截取QQ′＝FG，連接Q′F，在x軸上方過(guò)A作AK交y軸于K，使∠OAK＝30°，過(guò)Q′作Q′T⊥AK于T，則TQ′＝AQ′，

∵QQ′＝FG，QQ′//FG

∴四邊形FGQQ′是平行四邊形

∴FQ′＝GQ

∴EF+GQ+(FG+QA)＝EF+FQ′+TQ′，當(dāng)T、Q′、F、E四點(diǎn)共線時(shí)，EF+GQ+(FG+QA)的值最小；

∵∠AKO＝60°＝∠CMD

∴AK∥PM

∴此時(shí)，ET⊥PM，ET//AC，四邊形ADET是矩形

∴ET＝AD＝AC﹣CD＝8﹣2＝6

故EF+GQ+(FG+QA)的值最小值＝6．

（2）存在．∵△C'DM'沿射線PD平移得到△C″D'M″，且射線PD與x軸正方向夾角為30°，

∴平移后的△C″D′M″各頂點(diǎn)坐標(biāo)與△C′DM′關(guān)系為：向右平移t個(gè)單位，向上平移t個(gè)單位；

①當(dāng)點(diǎn)C′落在y軸上時(shí)，如圖2，

∵DC′＝DC，

∴∠DC′C＝∠DCC′＝30°，∠CDC′＝120°，

∴∠C′DM＝∠CDC′﹣∠CDM＝120°﹣90°＝30°.

∵∠DC′M′＝∠DCM＝30°，

∴∠C′DM＝∠DC′M′，

∴C′M′∥PM，且C′M′與PM之間的距離＝1.

∵四邊形OM″NC″是菱形，

∴ON與C″M″互相垂直平分，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥PD，

∵∠CON＝90°﹣∠ODH＝30°

∴OH＝OMcos30°＝×＝4，易求O到C″M″的距離為3，

∴ON＝6，

∴N1(3，﹣3)；

②當(dāng)點(diǎn)M′落在y軸上時(shí)，如圖3，

易知：DM＝DM′，∠DMM′＝∠DM′M＝60°，

∴△DMM′為等邊三角形，

∴∠MDM′＝60°＝∠C′M′D，

∴C′M′//PD，

∴C″M″//PD.

由①知：C″M″與PD間距離為1，∴O到C″M″的距離＝4+1＝5，

∵ON與C″M″互相垂直平分，

∴ON＝10，

∴N2(5，﹣5).

故點(diǎn)N的坐標(biāo)為：N1(3，﹣3)，N2(5，﹣5)．