【題目】如圖,四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O,∠BAD=90°,點(diǎn)E在BC的延長(zhǎng)線(xiàn)上,且∠DEC=∠BAC.
(1)求證:DE是⊙O的切線(xiàn);
(2)若AC∥DE,當(dāng)AB=12,CE=3時(shí),求AC的長(zhǎng).
【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)
【解析】
(1)先判斷出BD是圓O的直徑,再判斷出BD⊥DE,即可得出結(jié)論;
(2)先判斷出AC⊥BD,進(jìn)而求出BC=AB=8,進(jìn)而判斷出△BCD∽△DCE,求出CD,再用勾股定理求出BD,最后判斷出△CFD∽△BCD,即可得出結(jié)論.
(1)如圖,連接BD,交AC于點(diǎn)F.
∵ ∠BAD=90°, ∴ BD是直徑.
∴ ∠BCD=90°. ∴ ∠DEC+∠CDE=90°.
∵ ∠DEC=∠BAC, ∴ ∠BAC+∠CDE=90°.
∵ ∠BAC=∠BDC, ∴ ∠BDC+∠CDE=90°.
∴ ∠BDE=90°,即 BD⊥DE.
∵ 點(diǎn)D在⊙O上,
∴ DE是⊙O的切線(xiàn).
(2)∵ DE∥AC,∠BDE=90°,
∴ ∠BFC=90°.
∴ CB=AB=12,AF=CF= AC,
∵ ∠CDE+∠BDC=90°,∠BDC+∠CBD=90°.
∴ ∠CDE=∠CBD.
∵ ∠DCE=∠BCD=90°, ∴ △BCD∽△DCE,
∴ = , ∴ CD=6.∴ BD=6 .
同理:△CFD∽△BCD,∴ = , ∴ CF= .
∴ AC=2AF= .
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,矩形的四個(gè)頂點(diǎn)分別在矩形的各條邊上,,,.有以下四個(gè)結(jié)論:①;②;③;④矩形的面積是.其中正確的結(jié)論為( )
A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn),與軸交于點(diǎn),若,且.
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)若點(diǎn)為x軸上一點(diǎn),是等腰三角形,求點(diǎn)的坐標(biāo).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】△ABC為等腰直角三角形,AB=AC,△ADE為等腰直角三角形,AD=AE,點(diǎn)D在直線(xiàn)BC上,連接CE.
(1)判斷:①CE、CD、BC之間的數(shù)量關(guān)系;②CE與BC所在直線(xiàn)之間的位置關(guān)系,并說(shuō)明理由;
(2)若D在CB延長(zhǎng)線(xiàn)上,(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由;
(3)若D在BC延長(zhǎng)線(xiàn)上,(1)中的結(jié)論是否成立?若成立,請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)論,若不成立,請(qǐng)寫(xiě)出你發(fā)現(xiàn)的結(jié)論,并計(jì)算:當(dāng)CE=10cm,CD=2cm時(shí),BC的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某校組織數(shù)學(xué)興趣探究活動(dòng),愛(ài)思考的小實(shí)同學(xué)在探究?jī)蓷l直線(xiàn)的位置關(guān)系查閱資料時(shí)發(fā)現(xiàn),兩條中線(xiàn)互相垂直的三角形稱(chēng)為“中垂三角形”.如圖1、圖2、圖3中,AF、BE是△ABC的中線(xiàn),AF⊥BE于點(diǎn)P,像△ABC這樣的三角形均稱(chēng)為“中垂三角形”.
(1)如圖1,當(dāng)∠PAB=45°,AB=6時(shí),AC= ,BC= ;如圖2,當(dāng)sin∠PAB=,AB=4時(shí),AC= ,BC= ;
(2)請(qǐng)你觀察(1)中的計(jì)算結(jié)果,猜想AB2、BC2、AC2三者之間的關(guān)系,用等式表示出來(lái),并利用圖3證明你的結(jié)論.
(3)如圖4,在△ABC中,AB=4,BC=2,D、E、F分別是邊AB、AC、BC的中點(diǎn),連結(jié)DE并延長(zhǎng)至G,使得GE=DE,連結(jié)BG,當(dāng)BG⊥AC于點(diǎn)M時(shí),求GF的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖,反比例函數(shù)(x>0)的圖象與直線(xiàn)相交于點(diǎn)A,與直線(xiàn)y=kx(k≠0)相交于點(diǎn)B,若△OAB的面積為18,則k的值為_______________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0),下列說(shuō)法:
①若b=2,則方程ax2+bx+c=0一定有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根;
②若方程ax2+bx+c=0有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根,則方程x2﹣bx+ac=0也一定有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根;
③若c是方程ax2+bx+c=0的一個(gè)根,則一定有ac+b+1=0成立;
④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根,則b2﹣4ac=(2ax0+b)2,其中正確的( 。
A.只有①②③B.只有①②④C.①②③④D.只有③④
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是等腰三角形,,,點(diǎn)在邊上,點(diǎn)在邊上(點(diǎn)不與所在線(xiàn)段端點(diǎn)重合),,連接,射線(xiàn),延長(zhǎng)交射線(xiàn)于點(diǎn),點(diǎn)在直線(xiàn)上,且.
(1)如圖,當(dāng)時(shí),請(qǐng)直接寫(xiě)出與的關(guān)系:_____;與的位置關(guān)系:_____.
(2)當(dāng),其他條件不變時(shí),的度數(shù)是多少?(用含的代數(shù)式表示)
(3)若是等邊三角形,,是邊上的三等分點(diǎn),直線(xiàn)與直線(xiàn)交于點(diǎn),求線(xiàn)段的長(zhǎng).
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科目:初中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】如圖AD是△ABC的角平分線(xiàn),過(guò)點(diǎn)D分別作AC、AB的平行線(xiàn),交AB于點(diǎn)E,交AC于點(diǎn)F.
(1)求證:四邊形AEDF是菱形.
(2)若AF=13,AD=24.求四邊形AEDF的面積.
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