【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,直線y= x+2與x軸交于點A,與y軸交于點C.拋物線y=ax2+bx+c的對稱軸是x=﹣ 且經(jīng)過A、C兩點,與x軸的另一交點為點B.
(1)①直接寫出點B的坐標;②求拋物線解析式.
(2)若點P為直線AC上方的拋物線上的一點,連接PA,PC.求△PAC的面積的最大值,并求出此時點P的坐標.
(3)拋物線上是否存在點M,過點M作MN垂直x軸于點N,使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似?若存在,求出點M的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】
(1)
解:①y= 當x=0時,y=2,當y=0時,x=﹣4,
∴C(0,2),A(﹣4,0),
由拋物線的對稱性可知:點A與點B關(guān)于x=﹣ 對稱,
∴點B的坐標為1,0).
②∵拋物線y=ax2+bx+c過A(﹣4,0),B(1,0),
∴可設拋物線解析式為y=a(x+4)(x﹣1),
又∵拋物線過點C(0,2),
∴2=﹣4a
∴a=
∴y= x2 x+2.
(2)
解:設P(m, m2 m+2).
過點P作PQ⊥x軸交AC于點Q,
∴Q(m, m+2),
∴PQ= m2 m+2﹣( m+2)
= m2﹣2m,
∵S△PAC= ×PQ×4,
=2PQ=﹣m2﹣4m=﹣(m+2)2+4,
∴當m=﹣2時,△PAC的面積有最大值是4,
此時P(﹣2,3).
(3)
解:方法一:
在Rt△AOC中,tan∠CAO= 在Rt△BOC中,tan∠BCO= ,
∴∠CAO=∠BCO,
∵∠BCO+∠OBC=90°,
∴∠CAO+∠OBC=90°,
∴∠ACB=90°,
∴△ABC∽△ACO∽△CBO,
如下圖:
①當M點與C點重合,即M(0,2)時,△MAN∽△BAC;
②根據(jù)拋物線的對稱性,當M(﹣3,2)時,△MAN∽△ABC;
③當點M在第四象限時,設M(n, n2 n+2),則N(n,0)
∴MN= n2+ n﹣2,AN=n+4
當 時,MN= AN,即 n2+ n﹣2= (n+4)
整理得:n2+2n﹣8=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=2
∴M(2,﹣3);
當 時,MN=2AN,即 n2+ n﹣2=2(n+4),
整理得:n2﹣n﹣20=0
解得:n1=﹣4(舍),n2=5,
∴M(5,﹣18).
綜上所述:存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.
方法二:
∵A(﹣4,0),B(1,0),C(0,2),
∴KAC×KBC=﹣1,
∴AC⊥BC,MN⊥x軸,
若以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似,
則 , ,
設M(2t,﹣2t2﹣3t+2),
∴N(2t,0),
①|(zhì) |= ,
∴| |= ,
∴2t1=0,2t2=2,
②| |= ,
∴| |=2,∴2t1=5,2t2=﹣3,
綜上所述:存在M1(0,2),M2(﹣3,2),M3(2,﹣3),M4(5,﹣18),使得以點A、M、N為頂點的三角形與△ABC相似.
【解析】(1)①先求的直線y= x+2與x軸交點的坐標,然后利用拋物線的對稱性可求得點B的坐標;②設拋物線的解析式為y=y=a(x+4)(x﹣1),然后將點C的坐標代入即可求得a的值;(2)設點P、Q的橫坐標為m,分別求得點P、Q的縱坐標,從而可得到線段PQ= m2﹣2m,然后利用三角形的面積公式可求得S△PAC= ×PQ×4,然后利用配方法可求得△PAC的面積的最大值以及此時m的值,從而可求得點P的坐標;(3)首先可證明△ABC∽△ACO∽△CBO,然后分以下幾種情況分類討論即可:①當M點與C點重合,即M(0,2)時,△MAN∽△BAC;②根據(jù)拋物線的對稱性,當M(﹣3,2)時,△MAN∽△ABC; ④當點M在第四象限時,解題時,需要注意相似三角形的對應關(guān)系.
【考點精析】認真審題,首先需要了解二次函數(shù)的性質(zhì)(增減性:當a>0時,對稱軸左邊,y隨x增大而減;對稱軸右邊,y隨x增大而增大;當a<0時,對稱軸左邊,y隨x增大而增大;對稱軸右邊,y隨x增大而減小),還要掌握二次函數(shù)的最值(如果自變量的取值范圍是全體實數(shù),那么函數(shù)在頂點處取得最大值(或最小值),即當x=-b/2a時,y最值=(4ac-b2)/4a)的相關(guān)知識才是答題的關(guān)鍵.
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【題目】如圖,四邊形ABCD中,∠A=∠C=90°,∠ABC=135°,CD=6,AB=2,則四邊形ABCD的面積為___________
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【題目】八年級(1)班學生在完成課題學習“體質(zhì)健康測試中的數(shù)據(jù)分析”后,利用課外活動時間積極參加體育鍛煉,每位同學從籃球、跳繩、立定跳遠、長跑、鉛球中選一項進行訓練,訓練后都進行了測試.現(xiàn)將項目選擇情況及訓練后籃球定時定點投籃測試成績整理后作出如下統(tǒng)計圖.
請你根據(jù)上面提供的信息回答下列問題:
(1)扇形圖中跳繩部分的扇形圓心角為度,該班共有學生人,訓練后籃球定時定點投籃平均每個人的進球數(shù)是 .
(2)老師決定從選擇鉛球訓練的3名男生和1名女生中任選兩名學生先進行測試,請用列表或畫樹形圖的方法求恰好選中兩名男生的概率.
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【題目】如圖,D為⊙O上一點,點C在直徑BA的延長線上,且∠CDA=∠CBD.
(1)求證:CD是⊙O的切線;
(2)過點B作⊙O的切線交CD的延長線于點E,BC=6, .求BE的長.
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【題目】如圖,直線l1:y=-2x與直線l2:y=kx+b在同一平面直角坐標系內(nèi)交于點P .
(1)直接寫出不等式-2x>kx+b 的解集 ;
(2)設直線l2 與x 軸交于點A ,△OAP的面積為12 ,求l2的表達式.
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=AC,BC=20,DE是△ABC的中位線,點M是邊BC上一點,BM=3,點N是線段MC上的一個動點,連接DN,ME,DN與ME相交于點O.若△OMN是直角三角形,則DO的長是
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【題目】如圖,O是正△ABC內(nèi)一點,OA=3,OB=4,OC=5,將線段BO以點B為旋轉(zhuǎn)中心逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段BO′,下列結(jié)論:①△BO′A可以由△BOC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到;②點O與O′的距離為4;③∠AOB=150°;④S四邊形AOBO′=6+4;⑤S△AOC+S△AOB=6+,其中正確的結(jié)論是( 。
A. ①②③⑤ B. ①②③④ C. ①②④⑤ D. ①②③④⑤
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【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠A=30°,BC=2 ,以直角邊AC為直徑作⊙O交AB于點D,則圖中陰影部分的面積是( )
A.﹣
B.﹣
C.﹣
D.﹣
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