【題目】如圖,拋物線y=ax2+2x+c(a<0)與x軸交于點A和點B(點A在原點的左側(cè),點B在原點的右側(cè)),與y軸交于點C,OB=OC=3.
(1)求該拋物線的函數(shù)解析式.
(2)如圖1,連接BC,點D是直線BC上方拋物線上的點,連接OD,CD.OD交BC于點F,當S△COF:S△CDF=3:2時,求點D的坐標.
(3)如圖2,點E的坐標為(0,),點P是拋物線上的點,連接EB,PB,PE形成的△PBE中,是否存在點P,使∠PBE或∠PEB等于2∠OBE?若存在,請直接寫出符合條件的點P的坐標;若不存在,請說明理由.
【答案】(1)y=﹣x2+2x+3;(2)點D的坐標為(1,4)或(2,3);(3)點P坐標為:(,)或(,).
【解析】
(1)OB=OC=3,則:B(3,0),C(0,-3),把B、C坐標代入拋物線方程,解得拋物線方程為:y=-x2+2x+3;
(2)S△COF:S△CDF=3:2,則S△COF=S△COD,即:xD=xF,即可求解;
(3)分∠PBE或∠PEB等于2∠OBE兩種情況分別求解即可.
(1)OB=OC=3,則:B(3,0),C(0,﹣3),
把B、C坐標代入拋物線方程,
解得拋物線方程為:y=﹣x2+2x+3;
(2)∵S△COF:S△CDF=3:2,
∴S△COF=S△COD,即:xD=xF,
設:F點橫坐標為3t,則D點橫坐標為5t,
點F在直線BC上,
而BC所在的直線方程為:y=﹣x+3,則F(3t,3﹣3t),
則:直線OF所在的直線方程為:y=x=x,
則點D(5t,5﹣5t),
把D點坐標代入①,解得:t=或,
則點D的坐標為(1,4)或(2,3);
(3)①如圖所示,當∠PEB=2∠OBE=2α時,
過點E作∠PEB的平分線交x軸于G點,PE交x軸于H點,
則:∠PEQ=∠QEB=∠ABE=α,則∠HGE=2α,
設:GB=m,則:OG=3﹣m,GE=m,
在Rt△OGE中,由勾股定理得:EG2=OG2+OE2,
即:m2=(3﹣m)2+()2,解得:m=,
則:GE=,OG=,BE=,
∵∠PEQ=∠ABE=α,∠EHG=∠EHG,∴△HGE∽△HEB,
∴==,設:GH=x,HE=4x,
在Rt△OHE中,OH=OG﹣HG=﹣x,OE=,EH=4x,
由勾股定理解得:x=,則:OH=,H(,0),
把E、H兩點坐標代入一次函數(shù)表達式,
解得EH所在直線的表達式為:y=x﹣,
將上式與①聯(lián)立并解得:x=,
則點P(,);
②當∠PBE=2∠OBE時,則∠PBO=∠EBO,
BE所在直線的k值為,則BE所在直線的k值為﹣,
則:PB所在的直線方程為:y=﹣x+3,
將上式與①聯(lián)立,解得:x=,(x=0已舍去),
則點P(,),
故:點P坐標為:(,)或(,).
科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)的圖象相交于A(-1,m),B(n,-1)兩點,直線AB與y軸交于C點,連接OB.
(1)求一次函數(shù)的表達式;
(2)在x軸上找一點P,連接BP,使△BOP的面積等于△BOC的面積的2倍,求滿足條件的點P的坐標.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,已知△ABC 中,AB 為半圓 O 的直徑,AC、BC 分別交半圓 O 于點 E、D,且 BD=DE.
(1)求證:點 D 是 BC 的中點.
(2)若點 E 是 AC 的中點,判斷△ABC 的形狀,并說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖1,拋物線C1:y=ax2+bx+1的頂點坐標為D(1,0)且經(jīng)過點(0,1),將拋物線C1向右平移1個單位,向下平移1個單位得到拋物線C2,直線y=x+c,經(jīng)過點D交y軸于點A,交拋物線C2于點B,拋物線C2的頂點為P.
(1)求拋物線C1的解析式;
(2)如圖2,連結(jié)AP,過點B作BC⊥AP交AP的延長線于C,設點Q為拋物線上點P至點B之間的一動點,連結(jié)BQ并延長交AC于點F,
①當點Q運動到什么位置時,S△PBD×S△BCF=8?
②連接PQ并延長交BC于點E,試證明:FC(AC+EC)為定值.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標系中,拋物線y=ax2+2x+c與x軸交A(﹣1,0),B兩點,與y軸交于點C(0,3),拋物線的頂點為點E.
(1)求拋物線的解析式;
(2)經(jīng)過B,C兩點的直線交拋物線的對稱軸于點D,點P為直線BC上方拋物線上的一個動點,當點P運動到點E時,求△PCD的面積;
(3)點N在拋物線對稱軸上,點M在x軸上,是否存在這樣的點M與點N,使以M,N,C,B為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,請直接寫出點M的坐標(不寫求解過程);若不存在,請說明理由.
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科目:初中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,二次函數(shù)的圖象交坐標軸于 A(﹣1,0),B(4,0),C
(0,﹣4)三點,點 P 是直線 BC 下方拋物線上一動點.
(1) 求這個二次函數(shù)的解析式;
(2) 是否存在點 P,使△POC 是以 OC 為底邊的等腰三角形?若存在,求出 P 點坐標;若不存在,請說明理由;
(3) 在拋物線上是否存在點 D(與點 A 不重合)使得 S△DBC=S△ABC,若存在,求出點 D的坐標;若不存在,請說明理由.
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