Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，AC為對(duì)角線，點(diǎn)E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn)．
（1）求證：△ABE≌△CDF；
（2）若∠B=60°，AB=4，求線段AE的長．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，

∵點(diǎn)E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn)，

∴BE=DF，

在△ABE和△CDF中，

∵ ，

∴△ABE≌△CDF（SAS）；

（2）解：∵∠B=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，

∴AE⊥BC，

在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，

sin60°= ，

解得AE=2 ．

【解析】（1）首先根據(jù)菱形的性質(zhì)，得到AB=BC=AD=CD，∠B=∠D，結(jié)合點(diǎn)E、F分別是邊BC、AD的中點(diǎn)，即可證明出△ABE≌△CDF；（2）首先證明出△ABC是等邊三角形，結(jié)合題干條件在Rt△AEB中，∠B=60°，AB=4，即可求出AE的長．
【考點(diǎn)精析】認(rèn)真審題，首先需要了解菱形的性質(zhì)(菱形的四條邊都相等；菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形被兩條對(duì)角線分成四個(gè)全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對(duì)角線長的積的一半)．