Question

【題目】如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點．

（1）請用全等符號表示出圖中所有的全等三角形（不得添加輔助線），并選其中一對加以證明；
（2）求證：四邊形EFGH是菱形．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，

∴∠A=∠D，AB=CD，

∵E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點，

∴AH=DH，AE=DG，

在△AEH和△DGH中，

，

∴△AEH≌△DGH（SAS），

同理可得：△BEF≌△CGF．

∴圖中所有的全等三角形有：△AEH≌△DGH，△BEF≌△CGF；

（2）

證明：連接AC，BD，

∵梯形ABCD是等腰梯形，

∴AC=BD，

∵E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點，

∴EH=FG= BD，GH=EF= AC，

∴EH=GH=GF=EF，

∴四邊形EFGH是菱形．

【解析】（1）由在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E，F(xiàn)，G，H分別是梯形各邊的中點，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)，利用SAS可判定△AEH≌△DGH，同理可得證得△BEF≌△CGF；（2）首先連接AC，BD，由三角形的中位線的性質(zhì)，可得EH=FG= BD，GH=EF= AC，繼而可得EH=GH=GF=EF，則可證得四邊形EFGH是菱形．
【考點精析】本題主要考查了三角形中位線定理和菱形的判定方法的相關知識點，需要掌握連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線；三角形中位線定理：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半；任意一個四邊形，四邊相等成菱形；四邊形的對角線，垂直互分是菱形．已知平行四邊形，鄰邊相等叫菱形；兩對角線若垂直，順理成章為菱形才能正確解答此題．